Question

（2005•南宁）如图，点P是圆上的一个动点，弦AB=．PC是∠APB的平分线，∠BAC=30°．
（1）当∠PAC等于多少度时，四边形PACB有最大面积，最大面积是多少？
（2）当∠PAC等于多少度时，四边形PACB是梯形，说明你的理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由PC是∠APB的平分线，可知=，根据直径所对的圆周角是直角，根据特殊角的三角函数值求出PC的值，即可求出四边形PACB的面积．
（2）当∠PAC=120°时，根据PC是∠APB的平分线，求出∠PAC与∠APB互补，即AC∥PB且AP与BC不平行，四边形PACB是梯形；
当∠PAC=60°时，由=可知，AC=BC，又因为∠BAC=30°，所以∠ACB=120°，∠PAC与∠ACB互补，故BC∥AP且AC与PB不平行，四边形PACB是梯形．
解答：解：（1）∵PC是∠APB的平分线，
∴=．（1分）
当PC是圆的直径，即∠PAC=90°时，四边形PACB面积最大．（3分）
在Rt△PAC中，∠APC=30°，AP=PB=AB=，
∴PC==•=2．（4分）
∴S_{四边形PACB}=2S_△ACP（5分）
=PC•AB=×2×
=．（6分）

（2）当∠PAC=120°时，四边形PACB是梯形．（7分）
∵PC是∠APB的平分线，
∴∠APC=∠BPC=∠CAB=30°．
∴∠APB=60°．
∴∠PAC+∠APB=180°．
∴AC∥PB且AP与BC不平行．
∴四边形PACB是梯形．（8分）
当∠PAC=60°时，四边形PACB是梯形．（9分）
∵=，
∴AC=BC．
又∵∠BAC=30°，
∴∠ACB=120°．
∴∠PAC+∠ACB=180°．
∴BC∥AP且AC与PB不平行．
∴四边形PACB是梯形．（10分）
点评：本题属动态性题目，考查的是角平分线的性质，梯形，圆心角、弧、弦的关系及解直角三角形的关系，是一道综合性较好的题目的题目．