Question

已知边长为a的正三角形ABC，两顶点A，B分别在平面直角坐标系的x轴、y轴的正半轴上滑动，点C在第一象限，连接OC，则OC的长的最大值是

3 +1

2

a

．

Answer 1

分析：取AB的中点D，连接OD、CD，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出OD的长度，再根据等边三角形的性质求出CD的长，然后根据三角形任意两边之和大于第三边可得OD+CD＞OC，判定当O、D、C三点共线时OC最长，然后求解即可．

解答：解：如图，取AB的中点D，连接OD、CD，
∵正三角形ABC的边长为a，
∴OD=

1

2

a，CD=

3

2

a，
在△ODC中，OD+CD＞OC，
∴当O、D、C三点共线时OC最长，
最大值为

1

2

a+

3

2

a=

3 +1

2

a．
故答案为：

3 +1

2

a．

点评：本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等边三角形的性质，三角形的三边关系，作辅助线，判定出O、D、C三点共线时OC最长是解题的关键．