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如图,两圆内切于点P,大圆的弦AB切小圆于点CPC的延长线交大圆于点D

求证:(1)APD=BPD

(2)PA·PB=PC2+AC·CB

 

答案:
解析:

(1)过点P作两圆的公切线MN

∵ MNAB均为小圆的公切线,∴ ∠NPC=BCP

∵ ∠NPC=NPB+BPC,∠BCP=PAC+APC

又∠NPB=PAB=PAC,∴ ∠NPB+BPC=PAC+APC

∴ ∠BPC=APC,即∠BPD =APD

(2)连结AD.由(1)知,∠DPA=BPC

又∵ ∠ADP=CBP,∴ △PDA∽△PBC

∴ 

PA·PB=PC·PD

∵ PA·PB=PC·PD=(PC+CD)·PC=PC2+CD·PC

PC·CD=AC·BC,∴ PA·PB=PC2+AC·BC

 


提示:

(1)因为∠PAC+APC=PCB=NPB+CPB,所以只要证明∠PAC=NPB即可.

(2)要证明PA·PB=PC2+AC·CB,根据相交弦定理,得AC·BC=PC·CD,即证PA·PB=PC2+PC·CD=PC(PC+CD)=PC·PD.只需证△PDA∽△PBC即可.

两圆相切时,常作公切线(内切时,常作外公切线;外切时,常作内公切线),两圆的公切线使两圆有公共的弦切角或相等的弦切角,从而把两个圆中的角联系起来.

 


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