Question

【题目】如图1，在△ABC中，∠B=90°，分别作其内角∠ACB与外角∠DAC的平分线，且两条角平分线所在的直线交于点E．

（1）∠E=　 　°；

（2）分别作∠EAB与∠ECB的平分线，且两条角平分线交于点F．

①依题意在图1中补全图形；

②求∠AFC的度数；

（3）在（2）的条件下，射线FM在∠AFC的内部且∠AFM=∠AFC，设EC与AB的交点为H，射线HN在∠AHC的内部且∠AHN=∠AHC，射线HN与FM交于点P，若∠FAH，∠FPH和∠FCH满足的数量关系为∠FCH=m∠FAH+n∠FPH，请直接写出m，n的值．

Answer 1

【答案】（1）45；（2）67.5°；（3）m=2，n=﹣3．

【解析】

（1）根据角平分线的定义可得∠CAF=∠DAC，∠ACE=∠ACB，设∠CAF=x，∠ACE=y，根据已知可推导得出x﹣y=45，再根据三角形外角的性质即可求得答案；

（2）①根据角平分线的尺规作图的方法作出图形即可；

②如图2，由CF平分∠ECB可得∠ECF=y，再根据∠E+∠EAF=∠F+∠ECF以及∠E+∠EAB=∠B+∠ECB，可推导得出45°+=∠F+y，由此即可求得答案；

（3）如图3，设∠FAH=α，根据AF平分∠EAB可得∠FAH=∠EAF=α，根据已知可推导得出∠FCH=α﹣22.5①，α+22.5=30+∠FCH+∠FPH②，由此可得∠FPH=，再根据∠FCH=m∠FAH+n∠FPH，即可求得答案.

（1）如图1，

∵EA平分∠DAC，EC平分∠ACB，

∴∠CAF=∠DAC，∠ACE=∠ACB，

设∠CAF=x，∠ACE=y，

∵∠B=90°，

∴∠ACB+∠BAC=90°，

∴2y+180﹣2x=90，

x﹣y=45，

∵∠CAF=∠E+∠ACE，

∴∠E=∠CAF﹣∠ACE=x﹣y=45°，

故答案为：45；

（2）①如图2所示，

②如图2，∵CF平分∠ECB，

∴∠ECF=y，

∵∠E+∠EAF=∠F+∠ECF，

∴45°+∠EAF=∠F+y ①，

同理可得：∠E+∠EAB=∠B+∠ECB，

∴45°+2∠EAF=90°+y，

∴∠EAF=②，

把②代入①得：45°+=∠F+y，

∴∠F=67.5°，

即∠AFC=67.5°；

（3）如图3，设∠FAH=α，

∵AF平分∠EAB，

∴∠FAH=∠EAF=α，

∵∠AFM=∠AFC=×67.5°=22.5°，

∵∠E+∠EAF=∠AFC+∠FCH，

∴45+α=67.5+∠FCH，

∴∠FCH=α﹣22.5①，

∵∠AHN=∠AHC=（∠B+∠BCH）=（90+2∠FCH）=30+∠FCH，

∵∠FAH+∠AFM=∠AHN+∠FPH，

∴α+22.5=30+∠FCH+∠FPH，②

把①代入②得：∠FPH=，

∵∠FCH=m∠FAH+n∠FPH，

α﹣22.5=mα+n，

解得：m=2，n=﹣3．