Question

11．已知：如图，在直角坐标系中，有菱形OABC，A点的坐标为（10，0），对角线OB，AC相交于D点，双曲线y=$\frac{k}{x}$（x＞0）经过D点，交BC的延长线于E点，且OB•AC=160，有下列四个结论：①双曲线的解析式为y=$\frac{20}{x}$（x＞0）；②E点的坐标是（4，8）；③sin∠COA=$\frac{4}{5}$；④AC+OB=12$\sqrt{5}$，其中正确的结论有（　　）

• A． 1个
• B． 2个
• C． 3个
• D． 4个

Answer 1

分析 过点B作BM⊥x轴于点M，借助菱形与三角形的面积公式即可求出BM的长，在Rt△ABM中，利用勾股定理即可求出AM的长，从而可找出点B的坐标，根据菱形的性质即可得出点D的坐标，由点D的坐标利用待定系数法即可求出双曲线的解析式，从而得出①错误；由点E的纵坐标结合双曲线的解析式即可求出点E的坐标，从而得出②正确；根据菱形的性质即可得出AB∥OC，从而得出∠COA=∠BAM，再根据正弦的定义即可得出③正确；在Rt△OBM中利用勾股定理即可求出OB的长度，再根据OB•AC=160即可求出AC的长度，从而得出④正确．综上即可得出结论．

解答 解：过点B作BM⊥x轴于点M，如图所示．
∵A点的坐标为（10，0），
∴OA=10．
∵四边形OABC为菱形，且OB•AC=160，
∴S_△OAB=$\frac{1}{2}$OA•BM=$\frac{1}{4}$OB•AC=40，AB=OA=10，
∴BM=8．
在Rt△ABM中，AB=10，BM=8，
∴AM=$\sqrt{A{B}^{2}-B{M}^{2}}$=6，
∴OM=OA+AM=16，
∴B（16，8），D（8，4）．
∵点D（8，4）在双曲线y=$\frac{k}{x}$（x＞0）上，
∴4=$\frac{k}{8}$，k=32，
∴双曲线的解析式为y=$\frac{32}{x}$（x＞0），
∴①不正确；
∵点E在双曲线y=$\frac{32}{x}$上，且E的纵坐标为8，
∴E（$\frac{32}{8}$，8），即（4，8），
∴②正确；
∵四边形OABC为菱形，
∴AB∥OC，
∴∠COA=∠BAM，sin∠COA=sin∠BAM=$\frac{BM}{AB}$=$\frac{4}{5}$，
∴③正确；
在Rt△OBM中，BM=8，OM=16，
∴OB=$\sqrt{B{M}^{2}+O{M}^{2}}$=8$\sqrt{5}$，
∵OB•AC=160，
∴AC=4$\sqrt{5}$，OB+AC=12$\sqrt{5}$，
∴④正确．
故选C．

点评 本题考查了待定系数法求函数解析式、菱形的性质、勾股定理以及正弦的定义，解题的关键是逐一分析4条结论是否正确．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据菱形的性质找出相等的边角关系是关键．