Question

【题目】如图，在△ABC中，AB=AC，以AC边为直径作⊙O交BC边于点D，过点D作DE⊥AB于点E，ED、AC的延长线交于点F．

（1）求证：EF是⊙O的切线；

（2）若EB=，且sin∠CFD=，求⊙O的半径与线段AE的长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）r=，AE=6．

【解析】

试题分析：（1）连结OD，如图，由AB=AC得到∠B=∠ACD，由OC=OD得到∠ODC=∠OCD，则∠B=∠ODC，于是可判断OD∥AB，然后利用DE⊥AB得到OD⊥EF，然后根据切线的判定定理得到结论；

（2）在Rt△ODF利用正弦的定义得到sin∠OFD==，则可设OD=3x，OF=5x，所以AB=AC=6x，AF=8x，在Rt△AEF中由于sin∠AFE=，可得到AE=，接着表示出BE得到，解得x=，于是可得到AE和OD的长．

试题解析：（1）连结OD，如图，∵AB=AC，∴∠B=∠ACD，∵OC=OD，∴∠ODC=∠OCD，∴∠B=∠ODC，∴OD∥AB，∵DE⊥AB，∴OD⊥EF，∴EF是⊙O的切线；

（2）在Rt△ODF，sin∠OFD==，设OD=3x，则OF=5x，∴AB=AC=6x，AF=8x，在Rt△AEF中，∵sin∠AFE==，∴AE==，∵BE=AB﹣AE=6x﹣=，∴，解得x=，∴AE==6，OD==，即⊙O的半径长为．