Question

14．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax²+bx的对称轴为x=$\frac{3}{4}$，且经过点A（2，1），点P是抛物线上的动点，其横坐标为m（0＜m＜2），过点P作PB⊥x轴，垂足为B，交OA于点C．点O关于直线PB的对称点为D，连接CD、AD，过点A作AE⊥x轴，垂足为E．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当m为何值时，△ACD的周长最小；
（3）若△ACD为等腰三角形，求出所有符合条件的点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）根据抛物线对称轴公式和代入法可得关于a，b的方程组，解方程组可得抛物线的解析式；
（2）因为O与D关于直线PB的对称，所以PB垂直平分OD，则CO=CD，因为，△ACD的周长=AC+CD+AD=AC+CO+AD=AO+AD，AO=$\sqrt{O{E}^{2}+A{E}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{5}$，所以当AD最小时，△ACD的周长最小；根据垂线段最短，可知此时点D与E重合，其横坐标为2，故m=1．
（3）由中垂线得出CD=OC，再将OC、AC、AD用m表示，然后分情况讨论分别得到关于m的方程，解得m，再根据已知条件选取符合题意的点P坐标即可

解答 解：（1）依题意，得$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{b}{2a}=\frac{3}{4}}\\{4a+2b=1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=-\frac{3}{2}}\end{array}\right.$
∴y=x²-$\frac{3}{2}$x
（2）m=1
（3）依题意，得B（m，0）
在RT△OBC中，OC²=OB²+BC²=m²+（$\frac{1}{2}$m）²=$\frac{5}{4}$m²，
∴OC=$\frac{\sqrt{5}}{2}$m．
又∵O，D关于直线PC对称，
∴CD=OC=$\frac{\sqrt{5}}{2}$m
在RT△AOE中，OA=$\sqrt{O{E}^{2}+A{E}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{5}$
∴AC=OA-OC=$\sqrt{5}$-$\frac{\sqrt{5}}{2}$m
在RT△ADE中，AD²=AE²+DE²=1²+（2-2m）²=4m²-8m+5
分三种情况讨论：
①若AC=CD，即$\sqrt{5}$-$\frac{\sqrt{5}}{2}$m=$\frac{\sqrt{5}}{2}$m，解得m=1，∴P（1，-$\frac{1}{2}$）；
②若AC=AD，则有AC²=AD²，即5-5m+$\frac{5}{4}$m²=4m²-8m+5
解得m₁=0，m₂=$\frac{12}{11}$．
∵0＜m＜2，
∴m=$\frac{12}{11}$，
∴P（$\frac{12}{11}$，-$\frac{54}{121}$）；
③若DA=DC，则有DA²=DC²，即4m²-8m+5=$\frac{5}{4}$m²，
解得m₁=$\frac{10}{11}$，m₂=2．
∵，0＜m＜2，
∴m=$\frac{10}{11}$，
∴P（$\frac{10}{11}$，-$\frac{65}{121}$）
综上所述，当△ACD为等腰三角形是，点P的坐标分别为P₁（1，-$\frac{1}{2}$），P₂（$\frac{12}{11}$，-$\frac{54}{121}$），P₃（$\frac{10}{11}$，-$\frac{65}{121}$）．

点评 此题看出二次函数的综合运用，待定系数法求函数解析式，中心对称，垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，渗透分类讨论思想