Question

在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，AB=5．
（Ⅰ）探究新知
如图①，⊙O是△ABC的内切圆，与三边分别相切于点E、F、G．
（1）求证：内切圆的半径r₁=1； 
（2）求tan∠OAG的值；
（Ⅱ）结论应用
（1）如图②，若半径为r₂的两个等圆⊙O₁、⊙O₂外切，且⊙O₁与AC、AB相切，⊙O₂与BC、AB相切，求r₂的值；
（2）如图③，若半径为r_n的n个等圆⊙O₁、⊙O₂、…、⊙O_n依次外切，且⊙O₁与AC、AB相切，⊙O_n与BC、AB相切，⊙O₁、⊙O₂、…、⊙O_n均与AB相切，求r_n的值．

Answer 1

（Ⅰ）（1）证明：在图①中，连接OE，OF，OA．
∵⊙O是△ABC的内切圆，与三边分别相切于点E、F、G．
∴OF⊥BC，OE⊥AC，∠ACB=90°，
∴四边形CEOF是矩形，
又∵EO=OF，
∴四边形CEOF是正方形，
CE=CF=r₁．
又∵AG=AE=3-r₁，BG=BF=4-r₁，
AG+BG=5，
∴（3-r₁）+（4-r₁）=5．
即r₁=1．


（2）解：连接OG，在Rt△AOG中，
∵r₁=1，AG=3-r₁=2，
tan∠OAG==；       
         
（Ⅱ）（1）解：连接O₁A、O₂B，作O₁D⊥AB交于点D、O₂E⊥AB交于点E，AO₁、BO₂分别平分∠CAB、∠ABC．
由tan∠OAG=，知tan∠O₁AD=，
同理可得：tan∠O₂BE==，
∴AD=2r₂，DE=2r₂，BE=3r₂．
∵AD+DE+BE=5，
r₂=；
                                
（2）解：如图③，连接O₁A、O_nB，作O₁D⊥AB交于点D、O₂E⊥AB交于点E、…、O_nM⊥AB交于点M．
则AO₁、BO_n分别平分∠CAB、∠ABC．
tan∠O₁AD=，tan∠O_nBM=，
AD=2r_n，DE=2r_n，…，MB=3r_n，
又∵AD+DE+…+MB=5，
2r_n+2r_n+…+3r_n=5，
（2n+3）r_n=5，
r_n=．
分析：（Ⅰ）（1）根据切线的性质以及正方形的判定得出四边形CEOF是正方形，进而得出CE=CF=r₁，再利用切线长定理求出即可；
（2）在Rt△AOG中，根据r₁=1，AG=3-r₁=2，求出tan∠OAG的值即可；
（Ⅱ）（1）由tan∠OAG=，知tan∠O₁AD=，同理可得：tan∠O₂BE==，进而得出AD=2r₂，DE=2r₂，BE=3r₂，即可求出r₂=；
（2）根据（1）中所求可以得出AD=2r_n，DE=2r_n，…，MB=3r_n，得到2r_n+2r_n+…+3r_n=5，求出即可．
点评：此题主要考查了切线长定理以及锐角三角函数关系以及相切两圆的性质，根据已知得出tan∠O₁AD=，tan∠O₂BE==是解题关键．