Question

（2004•十堰）在平面直角坐标系xoy中，以O为原心，12为半径作圆交x轴于E，F两点，交y轴千C，D两点，G为劣弧上一点．且．
（1）求G点的坐标；
（2）求过G、E、F三点的抛物线的解析式；
（3）点A为x轴正半轴上一点，且在圆O的外部，过A作圆O的一条切线AB，切点为B，交y轴正半轴于点H，若以点A、O、H为顶点的三角形与三角形EGF相似，求AF的长．

Answer 1

【答案】分析：（1）本题可通过构建直角三角形来求G点的坐标，过G作GG′⊥x轴于G′，那么根据，可知∠GOE=60°，在直接三角形GOG′中，可根据半径的长和∠GOE的度数求出G点的坐标；
（2）已知了圆的半径，易知E，F的坐标为（-12，0），（12，0）．因此可用待定系数法求出抛物线的解析式；
（3）连接OB，已知了∠GEF=60°，那么本题可分两种情况进行讨论：
①∠HAO=60°，那么在直角三角形OBA中，根据半径的长和∠BAO的度数即可求出OA的长，也就能求出AF的长．
②∠HAO=30°，方法同①．
解答：解：（1）过点G作GG'⊥x轴，垂足为G'，
由有：∠GOE=60，GG'=6，OG'=6，
∴G（-6，6）；

（2）设过G、E、F三点的抛物线的解析式为y=ax²+bx+c（a≠0），
由己知有：E（-12，0），F（12，0），
将G、E、F三点的坐标代入y=ax²+bx+c（a≠0）
有：，
解之得：．
∴过G、E、F三点的抛物线的解析式为y=-x²+8；

（3）连接OB，则OB⊥AH，由己知有∠GFE=30°，∠GEF=60°
要使以点A、O、H为顶点的三角形与三角形EGF相似，
必须满足∠HAO=30°，或∠HAO=60°
（i）若∠HAO=30°，则OA=2，OB=24，
∴AF=24-12=12．
（ii）若∠HAO=60°，则OB=OAsin60°=12，OA=8，
∴AF=8-12．
点评：本题着重考查了待定系数法求二次函数解析式、相似三角形的判定和性质等重要知识点，要注意的是（3）中，在不确定相似三角形哪些角是对应角的情况下要分类讨论，不要漏解．