Question

14．已知，如图，Rt△ABC中，∠B=90°，AB=6，BC=4，以斜边AC为底边作等腰三角形ACD，腰AD刚好满足AD∥BC，并作腰上的高AE．
（1）求证：AB=AE；
（2）求等腰三角形的腰长CD．

Answer 1

分析 （1）由等腰三角形的性质得出∠DAC=∠DCA，由平行线的性质得出∠DAC=∠BCA，得出∠ACB=∠DCA，由AAS证明△ABC≌△AEC，得出AB=AE；
（2）由（1）得：AE=AB=6，CE=CB=4，设DC=x，则DA=x，DE=x-4，由勾股定理得出方程，解方程即可．

解答 （1）证明：∵DA=DC，
∴∠DAC=∠DCA，
∵AD∥BC，
∴∠DAC=∠BCA，
∴∠ACB=∠DCA，
又∵AE⊥CD，
∴∠AEC=90°，
∴∠A=∠AEC=90°，
在△ABC和△AEC中，$\left\{\begin{array}{l}{∠B=∠AEC}&{\;}\\{∠ACB=∠DCA}&{\;}\\{AC=AC}&{\;}\\{\;}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABC≌△AEC（AAS），
∴AB=AE；
（2）解：由（1）得：AE=AB=6，CE=CB=4，
设DC=x，则DA=x，DE=x-4，
由勾股定理得：DE²+AE²=DA²，
即（x-4）²+6²=x²，
解得：x=$\frac{13}{2}$，
即CD=$\frac{13}{2}$．

点评 本题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理；熟练掌握等腰三角形的性质，并能进行推理论证与计算是解决问题的关键．