【题目】已知抛物线y=ax2+bx+2过点A(5,0)和点B(﹣3,﹣4),与y轴交于点C.
(1)求抛物线y=ax2+bx+2的函数表达式;
(2)求直线BC的函数表达式;
(3)点E是点B关于y轴的对称点,连接AE、BE,点P是折线EB﹣BC上的一个动点,
①当点P在线段BC上时,连接EP,若EP⊥BC,请直接写出线段BP与线段AE的关系;
②过点P作x轴的垂线与过点C作的y轴的垂线交于点M,当点M不与点C重合时,点M关于直线PC的对称点为点M′,如果点M′恰好在坐标轴上,请直接写出此时点P的坐标.
【答案】(1)y=﹣x2+x+2;(2)y=2x+2;(3)①线段BP与线段AE的关系是相互垂直;②点P的坐标为:(﹣4+2,﹣8+4)或(﹣4﹣2,﹣8﹣4)或(0,﹣4)或(﹣,﹣4).
【解析】
(1)将A(5,0)和点B(﹣3,﹣4)代入y=ax2+bx+2,即可求解;
(2)C点坐标为(0,2),把点B、C的坐标代入直线方程y=kx+b即可求解;
(3)①AE直线的斜率kAE=2,而直线BC斜率的kAE=2即可求解;
②考虑当P点在线段BC上时和在线段BE上时两种情况,利用PM′=PM即可求解.
(1)将A(5,0)和点B(﹣3,﹣4)代入y=ax2+bx+2,
解得:a=﹣,b=,
故函数的表达式为y=﹣x2+x+2;
(2)C点坐标为(0,2),把点B、C的坐标代入直线方程y=kx+b,
解得:k=2,b=2,
故:直线BC的函数表达式为y=2x+2,
(3)①E是点B关于y轴的对称点,E坐标为(3,﹣4),
则AE直线的斜率kAE=2,而直线BC斜率的kAE=2,
∴AE∥BC,而EP⊥BC,∴BP⊥AE
而BP=AE,∴线段BP与线段AE的关系是相互垂直;
②设点P的横坐标为m,
当P点在线段BC上时,
P坐标为(m,2m+2),M坐标为(m,2),则PM=2m,
直线MM′⊥BC,∴kMM′=﹣,
直线MM′的方程为:y=﹣x+(2+m),
则M′坐标为(0,2+m)或(4+m,0),
由题意得:PM′=PM=2m,
PM′2=42+m2=(2m)2,此式不成立,
或PM′2=m2+(2m+2)2=(2m)2,
解得:m=﹣4±2,
故点P的坐标为(﹣4±2,﹣8±4);
当P点在线段BE上时,
点P坐标为(m,﹣4),点M坐标为(m,2),
则PM=6,
直线MM′的方程不变,为y=﹣x+(2+m),
则M′坐标为(0,2+m)或(4+m,0),
PM′2=m2+(6+m)2=(2m)2,
解得:m=0,或﹣;
或PM′2=42+42=(6)2,无解;
故点P的坐标为(0,﹣4)或(﹣,﹣4);
综上所述:
点P的坐标为:(﹣4+2,﹣8+4)或(﹣4﹣2,﹣8﹣4)或(0,﹣4)或(﹣,﹣4).
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【题目】如图,由6个长为2,宽为1的小矩形组成的大矩形网格,小矩形的顶点称为这个矩形网格的格点,由格点构成的几何图形称为格点图形(如:连接2个格点,得到一条格点线段;连接3个格点,得到一个格点三角形;…),请按要求作图(标出所画图形的顶点字母).
(1)画出4种不同于示例的平行格点线段;
(2)画出4种不同的成轴对称的格点三角形,并标出其对称轴所在线段;
(3)画出1个格点正方形,并简要证明.
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【题目】综合实践课上,某小组同学将直角三角形纸片放到横线纸上(所有横线都平行,且相邻两条平行线的距离为1),使直角三角形纸片的顶点恰巧在横线上,发现这样能求出三角形的边长.
(1)如图1,已知等腰直角三角形纸片△ABC,∠ACB=90°,AC=BC,同学们通过构造直角三角形的办法求出三角形三边的长,则AB=__________;
(2)如图2,已知直角三角形纸片△DEF,∠DEF=90°,EF=2DE,求出DF的长;
(3)在(2)的条件下,若橫格纸上过点E的横线与DF相交于点G,直接写出EG的长.
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【题目】如图,在平行四边形ABCD中,过点A作AE⊥DC,垂足为点E,连接BE,点F为BE上一点,连接AF,∠AFE=∠D.
(1)求证:∠BAF=∠CBE;
(2)若AD=5,AB=8,sinD=.求证:AF=BF.
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【题目】如图,在四边形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,下列条件不能判定四边形ABCD为平行四边形的是( )
A.AB∥CD,AD∥BCB.OA=OC,OB=OD
C.AD=BC,AB∥CDD.AB=CD,AD=BC
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【题目】山西特产专卖店销售核桃,其进价为每千克40元,按每千克60元出售,平均每天可售出100千克,后来经过市场调查发现,单价每降低2元,则平均每天的销售可增加20千克,若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2240元,请回答:
(1)每千克核桃应降价多少元?
(2)在平均每天获利不变的情况下,为尽可能让利于顾客,赢得市场,该店应按原售价的几折出售?
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【题目】甲、乙两队举行了一年一度的赛龙舟比赛,两队在比赛的路程(米)与时间(分钟)之间的函数关系如图所示,请你根据图象判断,下列说法正确的有( )
①甲队先到达终点;
②甲队比乙队多走200米路程;
③乙队比甲队少用分钟;
④比赛中两队从出发到分钟时间段,乙队的速度比甲队的速度快.
A.1个B.2个C.3个D.4个
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【题目】(2017重庆A卷第11题)如图,小王在长江边某瞭望台D处,测得江面上的渔船A的俯角为40°,若DE=3米,CE=2米,CE平行于江面AB,迎水坡BC的坡度i=1:0.75,坡长BC=10米,则此时AB的长约为( )(参考数据:sin40°≈0.64,cos40°≈0.77,tan40°≈0.84).
A. 5.1米 B. 6.3米 C. 7.1米 D. 9.2米
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【题目】如图,在Rt△ABC中,AC=BC,点D是△ABC内一点,若AC=AD,∠CAD=30°,连接BD,则∠ADB的度数为( )
A.120°B.135°C.150°D.165°
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