Question

3．已知，在平面直角坐标系中，AB⊥x轴于点B，点A（a，b）满足$\sqrt{a-4}$+|b-2|=0，平移线段AB使点A与原点重合，点B的对应点为点C．
（1）则a=4，b=2；点C坐标为（0，-2）；
（2）如图1，点D（m，n）在线段BC上，求m、n满足的关系式；
（3）如图2，E是线段OB上一动点，以OB为边作∠BOG=∠AOB，交BC于点G，连CE交OG于点F，当点E在线段OB上运动过程中，$\frac{∠OFC+∠FCG}{∠OEC}$的值是否会发生变化？若变化请说明理由，若不变，请求出其值．

Answer 1

分析 （1）根据$\sqrt{a-4}$+|b-2|=0，可得a-4=0，b-2=0，据此可得a=4，b=2，再根据AB=OC=2，且C在y轴负半轴上，可得C（0，-2）；
（2）过点D分别作DM⊥x轴于点M，DN⊥y轴于点N，连接OD，根据S_△BOC=$\frac{1}{2}$OB×OC=4，且S_△BOC=S_△BOD+S_△COD=$\frac{1}{2}$OB×MD+$\frac{1}{2}$OC×ND=$\frac{1}{2}$×4×（-n）+$\frac{1}{2}$×m×2=m-2n，可得m、n满足的关系式；
（3）过点E，F作EP∥OA，FQ∥OA分别交y轴于点P，点Q，根据平行线的性质，得出∠OEC=∠OEP+∠PEC=∠AOE+∠GCF，以及∠OFC=2∠AOE+∠GCF，进而得到$\frac{∠OFC+∠FCG}{∠OEC}$的值为2．

解答 解：（1）∵$\sqrt{a-4}$+|b-2|=0，
∴a-4=0，b-2=0，
∴a=4，b=2，
∵AB=OC=2，且C在y轴负半轴上，
∴C（0，-2），
故答案为：4，2，（0，-2）；

（2）如图1，过点D分别作DM⊥x轴于点M，DN⊥y轴于点N，连接OD．
∵AB⊥x轴于点B，且点A，D，C三点的坐标分别为：（4，2），（m，n），（0，-2），
∴OB=4，OC=2，MD=-n，ND=m，
∴S_△BOC=$\frac{1}{2}$OB×OC=4，
又∵S_△BOC=S_△BOD+S_△COD
=$\frac{1}{2}$OB×MD+$\frac{1}{2}$OC×ND
=$\frac{1}{2}$×4×（-n）+$\frac{1}{2}$×m×2
=m-2n，
∴m、n满足的关系式为：m-2n=4；

（3）$\frac{∠OFC+∠FCG}{∠OEC}$的值不变，值为2．理由如下：
方法1：∵线段OC是由线段AB平移得到，
∴BC∥OA，
∴∠AOB=∠OBC，
又∵∠BOG=∠AOB，
∴∠BOG=∠OBC，
根据三角形外角性质，可得∠OGC=2∠OBC，∠OFC=∠FCG+∠OGC，
∴∠OFC+∠FCG=2∠FCG+2∠OBC
=2（∠FCG+∠OBC）
=2∠OEC，
∴$\frac{∠OFC+∠FCG}{∠OEC}$=$\frac{2∠OEC}{∠OEC}$=2；

方法2：如图2，分别过点E，F作EP∥OA，FQ∥OA分别交y轴于点P，点Q，
∵线段OC是由线段AB平移得到，
∴BC∥OA，
又∵EP∥OA，
∴EP∥BC，
∴∠GCF=∠PEC，
∵EP∥OA，
∴∠AOE=∠OEP，
∴∠OEC=∠OEP+∠PEC=∠AOE+∠GCF，①
同理：∠OFC=∠AOF+∠GCF，
又∵∠AOB=∠BOG，
∴∠OFC=2∠AOE+∠GCF，②
根据①，②可得：
$\frac{∠OFC+∠FCG}{∠OEC}=\frac{∠OFC+∠FCG}{∠AOE+∠FCG}$=$\frac{2∠AOE+2∠FCG}{∠AOE+∠FCG}$=2．

点评 本题属于几何变换综合题，主要考查了非负数，坐标与图形，平行线的性质以及平移的性质，解决问题的关键是作辅助线，运用面积法，角的和差关系以及平行线的性质进行求解．