【题目】如图,已知△AOD是等腰三角形,点A(12,0),O为坐标原点,P是线段OA上任意一点(不含端点O,A),过P,O两点的二次函数y1,和过P、A两点的二次函数y2,的开口均向下,它们的顶点分别为B,C,点B,C分别在OD、AD上.当OD=AD=10时,则两个二次函数的最大值之和等于_____.
【答案】8
【解析】
过B作BF⊥OA于F,过D作DE⊥OA于E,过C作CM⊥OA于M,设P(2x,0),根据二次函数的对称性得出OF=PF=x,△OBF∽△ODE,△ACM∽△ADE,推出,
,代入求出BF和CM,相加即可求出答案.
过B作BF⊥OA于F,过D作DE⊥OA于E,过C作CM⊥OA于M,
∵BF⊥OA,DE⊥OA,CM⊥OA,
∴BF∥DE∥CM,
∵OD=AD=10,DE⊥OA,
∴OE=EA=OA=6,
由勾股定理得:DE==8.
设P(2x,0),根据二次函数的对称性得出OF=PF=x,
∵BF∥DE∥CM,
∴△OBF∽△ODE,△ACM∽△ADE,
∴,
,
∵AM=PM=(OA-OP)=
(12-2x)=6-x,
即,
,
解得:BF=x,CM=8-
x,
∴BF+CM=8.
故答案为:8.
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【题目】如图,抛物线 与x轴交与A(1,0),B(- 3,0)两点.
⑴求该抛物线的解析式;
⑵设⑴中的抛物线交y轴与C点,在该抛物线的对称轴上是否存在点Q,使得△QAC的周长最小?若存在,求出Q点的坐标;若不存在,请说明理由.
⑶在抛物线上BC段是否存在点P,使得△PBC面积最大,若存在,求P点坐标;若不存在,说明理由.
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【题目】小明参加某个智力竞答节目,答对最后两道单选题就顺利通关.第一道单选题有3个选项,第二道单选题有4个选项,这两道题小明都不会,不过小明还有一个“求助”没有用(使用“求助”可以让主持人去掉其中一题的一个错误选项).
(1)如果小明第一题不使用“求助”,那么小明答对第一道题的概率是 .
(2)如果小明将“求助”留在第二题使用,请用树状图或者列表来分析小明顺利通关的概率.
(3)从概率的角度分析,你建议小明在第几题使用“求助”.(直接写出答案)
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【题目】如图1,在中,
,
,
,以OB为边,在
外作等边
,D是OB的中点,连接AD并延长交OC于E.
(1)求证:四边形ABCE是平行四边形;
(2)连接AC,BE交于点P,求AP的长及AP边上的高BH;
(3)在(2)的条件下,将四边形OABC置于如图所示的平面直角坐标系中,以E为坐标原点,其余条件不变,以AP为边向右上方作正方形APMN:
①M点的坐标为 .
②直接写出正方形APMN与四边形OABC重叠部分的面积(图中阴影部分).
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【题目】某校研究学生的课余爱好情况,采取抽样调查的方法,从阅读、运动、娱乐、上网等四个方面调查了若干名学生的兴趣爱好,并将调查结果绘制成下面两幅不完整的统计图,请你根据图中提供的信息解答下列问题:
(1)在这次调查中,一共调查了 名学生;
(2)补全条形统计图;
(3)若该校共有1500名学生,估计爱好运动的学生有 人;
(4)在全校同学中随机选取一名学生参加演讲比赛,用频率估计概率,则选出的恰好是爱好阅读的学生的概率是 .
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【题目】如图,抛物线y=ax2+x+c与x轴交于A,B两点,A点坐标为(﹣3,0),与y轴交于点C,点C坐标为(0.﹣6),连接BC,点C关于x轴的对称点D,点P是x轴上的一个动点,设点P的坐标为(m,0),过点P作x轴的垂线l交抛物线于点Q,交直线BD于点M.
(1)求二次函数解析式;
(2)点P在x轴上运动,若﹣6≤m≤2时,求线段MQ长度的最大值.
(3)点P在x轴上运动时,N为平面内一点,使得点B、C、M、N为顶点的四边形为菱形?如果存在,请直接写出点N坐标;不存在,说明理由.
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【题目】近年来,中学生的身体素质普遍下降,某校为了提高本校学生的身体素质,落实教育部门“在校学生每天体育锻炼时间不少于1小时”的文件精神,对部分学生的每天体育锻炼时间进行了调查统计.以下是本次调查结果的统计表和统计图.
组别 | A | B | C | D | E |
时间t(分钟) | t<40 | 40≤t<60 | 60≤t<80 | 80≤t<100 | t≥100 |
人数 | 12 | 30 | a | 24 | 12 |
(1)求出本次被调查的学生数;
(2)请求出统计表中a的值;
(3)求各组人数的众数;
(4)根据调查结果,请你估计该校2400名学生中每天体育锻炼时间不少于1小时的学生人数.
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【题目】在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线y=x2﹣2ax+b的顶点在x轴上,P(x1,m),Q(x2,m)(x1<x2)是此抛物线上的两点.
(1)若a=1.
①当m=b时,求x1,x2的值;
②将抛物线沿y轴平移,使得它与x轴的两个交点间的距离为4,试描述出这一变化过程;
(2)若存在实数c,使得x1≤c﹣1,且x2≥c+7成立,则m的取值范围是_______.
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【题目】如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O.
(1)画出△AOB平移后的三角形,其平移后的方向为射线AD的方向,平移的距离为AD的长.
(2)观察平移后的图形,除了矩形ABCD外,还有一种特殊的平行四边形?请证明你的结论.
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