Question

阅读下列材料：
已知三个数a、b、c，我们可以用M（a，b，c）表示这三个数的平均数，用max（a，b，c）表示这三个数中最大的数．
例如：M（-2，1，5）=

-2+1+5

3

=

4

3

； max（-2，1，5）=5；max（-2，1，a）=

a(a≥1) 1(a＜1)

解决下列问题：
（1）填空：①M（-3，-2，10）=

 

；
②max（tan30°，sin45°，cos60°）=

 

；
③如果max（2，2-2a，2a-4）=2，那么a的取值范围是

 

；
（2）如果M（2，a+1，2a）=max（2，a+1，2a），求a的值；
（3）请你根据（2）的结果，继续探究：如果M（a，b，c）=max（a，b，c），那么

 

（填a、b、c的大小关系），并证明你的结论；
（4）运用（3）的结论填空：
如果M（2a+b+2，a+2b，2a-b）=max（2a+b+2，a+2b，2a-b），那么a+b=

 

．

Answer 1

分析：（1）由给出的平均数和最大数进行填空即可；
（2）分两种情况列出等式，求得a的值即可；
（3）不妨假设max（a，b，c）=a，可证得a=b=c；
（4）列式求得a、b，再代入a+b即可．

解答：解：（1）①

5

3

；
②

2

2

（填sin45°也正确）；
③0≤a≤3

（2）当M（2，a+1，2a）=

2+a+1+2a

3

=a+1=max（2，a+1，2a）
∴

a+1≥2① a+1≥2a②

解得：a=1

（3）a=b=c
证明：M（a，b，c）=

a+b+c

3

不妨假设max（a，b，c）=a那么

a≥b a≥c

∴a-b≥0且a-c≥0，
∵M（a，b，c）=max（a，b，c），
∴

a+b+c

3

=a
∴2a-b-c=0，
∴a=ba=c，即a=b=c（其它两种情况同理）

（4）-4

点评：本题是一个新定义的题目，考查了一元一次不等式的应用和特殊角的三角函数值，难度较大．