在矩形ABCD中.AB=8.AD=6.现将纸片折叠.点D的对应点记为点P.折痕为EF.(点E.F为折痕与矩形ABCD边的交点).再将纸片还原．(1)若点P落在矩形ABCD的边AB上．①当点P与点A重合时.∠DEF=90°,当点E与点A重合时.∠DEF=45°,②当点E在AB上.点F在DC上时.求证:四边形DEPF为菱形.并直接写出当AP=7时菱形DEPF的边长．(2)若点P落在矩� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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15．在矩形ABCD中，AB=8，AD=6，现将纸片折叠，点D的对应点记为点P，折痕为EF，（点E、F为折痕与矩形ABCD边的交点），再将纸片还原．
（1）若点P落在矩形ABCD的边AB上（如图①）．
①当点P与点A重合时，∠DEF=90°；当点E与点A重合时，∠DEF=45°；
②当点E在AB上，点F在DC上时（如图②），求证：四边形DEPF为菱形，并直接写出当AP=7时菱形DEPF的边长．
（2）若点P落在矩形ABCD的内部（如图③），且点E、F分别在AD、DC边上，请直接写出AP的最小值．

分析（1）①当点P与点A重合时，如图1，画出图形可得结论；
当点E与点A重合时，如图2，则EF平分∠DAB；
②证明△DOF≌△POE（ASA）得DF=PE，根据一组对边平行且相等得：四边形DEPF是平行四边形，加上对角线互相垂直可得?DEPF为菱形，
当AP=7时，设菱形的边长为x，根据勾股定理列方程得：6²+（7-x）²=x²，求出x的值即可；
（2）如图4，当F与C重合，点P在对角线AC上时，AP有最小值，根据折叠的性质求CD=PC=8，由勾股定理求AC=10，所以AP=10-8=2．

解答解：（1）①当点P与点A重合时，如图1，
∴EF是AD的中垂线，
∴∠DEF=90°，
当点E与点A重合时，如图2，
此时∠DEF=$\frac{1}{2}$∠DAB=45°，
故答案为：90°，45°；
②当点E在AB上，点F在DC上时，如图3，
∵EF是PD的中垂线，
∴DO=PO，EF⊥PD，
∵四边形ABCD是矩形，
∴DC∥AB，
∴∠FDO=∠EPO，
∵∠DOF=∠EOP，
∴△DOF≌△POE（ASA），
∴DF=PE，
∵DF∥PE，
∴四边形DEPF是平行四边形，
∵EF⊥PD，
∴?DEPF为菱形，
当AP=7时，设菱形的边长为x，则AE=7-x，DE=x，
在Rt△ADE中，由勾股定理得：AD²+AE²=DE²，
∴6²+（7-x）²=x²，
x=$\frac{85}{14}$，
∴当AP=7时，设菱形的边长为$\frac{85}{14}$；
（2）若点P落在矩形ABCD的内部，且点E、F分别在AD、DC边上，
如图4，当F与C重合，点P在对角线AC上时，AP有最小值，
由折叠得：CD=PC=8，
由勾股定理得：AC=$\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}$=10，
∴AP=10-8=2，
则AP的最小值是2．

点评本题是四边形的综合题，考查了矩形的性质、菱形的性质和判定、勾股定理、折叠的性质，熟练掌握折叠的性质是关键，本题难度适中，注意运用数形结合的思想．

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