Question

某校把一块形状近似于直角三角形的废地开辟为生物园，如图所示，∠ACB=90°，BC=60米，∠A=36度．
（1）若入口E在边AB上，且与A、B等距离，请你在图中画出入口E到C点的最短路线，并求出最短路线CE的长．（保留整数）
（2）若线段CD是一条水渠，并且D点在边AB上，已知水渠造价为50元/米，水渠路线应如何设计才能使造价最低，请你画出水渠路线，并求出最低造价．

Answer 1

解：（1）最短路线如图所示：
CE为Rt△ABC斜边上的中线
在Rt△ABC中，∠A=36°，BC=60米，
AB=≈102（米）
CE=AB=51（米）

（2）若要水渠造价最低，则水渠应与AB垂直，如图所示CD⊥AB
在Rt△BCD中，∠B=54°，BC=60米CD=BC•sin54°=60×0.809=48.54
造价：50×CD=2427元．
分析：（1）E与A、B等距离应是AB的中点，CE的最短距离应是线段CE的长度，它等于AB的一半．利用∠A是正弦值即可求得AB长．
（2）点C到AB的最短距离应是点C到AB的垂线段的长度，利用∠B的正弦值即可求得CD长．
点评：本题考查锐角三角函数的运用；点到直线的最短距离应是这点到这条直线的垂线段的长度；应尽量使用题中已知的线段求解．