Question

如图，正方形ABCD中，点F在边BC上，E在边BA的延长线上，且DE⊥DF．
（1）求证：△DCF≌△DAE；
（2）若AE=3，BF=2，求四边形BFDE的面积．

Answer 1

分析：（1）由正方形ABCD中，DE⊥DF，易得AD=CD，∠DAE=∠C=90°，又由等角的余角相等，证得∠ADE=∠CDF，即可利用ASA证得：△DCF≌△DAE；
（2）由（1）可得CF=AE=3，S_△DCF=S_△AED，即可求得BC的长与S_{四边形BFDE}=S_△ADE+S_{四边形ABFD}=S_△CDF+S_{四边形ABFD}=S_{正方形ABCD}，则可求得答案．

解答：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=CD，∠ADC=∠DAE=∠C=90°，
∴∠ADF+∠CDF=90°，
∵DE⊥DF，
∴∠ADE+∠ADF=90°，
∴∠ADE=∠CDF，
在△DCF和△DAE中，

∠ADE=∠CDF AD=CD ∠DAE=∠C

，
∴△DCF≌△DAE（ASA）；

（2）∵△DCF≌△DAE，AE=3，BF=2，
∴CF=AE=3，S_△DCF=S_△AED，
∴BC=BF+CF=2+3=5，
∴S_{四边形BFDE}=S_△ADE+S_{四边形ABFD}=S_△CDF+S_{四边形ABFD}=S_{正方形ABCD}=BC²=25．

点评：此题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质以及余角的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与转化思想的应用．