Question

已知，如图，点C是线段AB上的任意一点(C点与A、B点不重合)，分别以AC、BC为边在线段AB的同侧作等边三角形ACD和等边三角形BCE，AE与CD相交于点M，BD与CE相交于点N． (1) 求证：△ACE≌△DCB； (2) 求证：MN∥AB； (3) 若线段AB的长为10cm，当点C在线段AB上移动时，是否存在这样的一点C，使线段MN的长度最长？若存在，请确定C点的位置并求出MN的长；若不存在，请说明理由．

Answer 1

答案：1．证明(略)．;
解析：

(2)	证明：由(1)知，△ACE≌△DCB，∠AEC＝∠DBC， 　　又∵EC＝CB，∠MCE＝∠ECB＝， 　　∴△CME≌△CNB．∴CM＝CN． 　　又∵∠MCN＝，∴△CMN是等边三角形． 　　∴∠MNC＝∠NCB＝ 　　∴MN∥AB
(3)	设AC＝x，MN＝y． 　　∵MN∥AB， 　　＝ 　　又∵CB＝EC＝10－x，CN＝y，EN＝10－x－y， 　　∴＝ 　　即y＝－x2＋x＝－(x－5)2＋2.5(0＜x＜10)． 　　∴当x＝5时，y有最大值为2.5cm． 　　∴当C点是AB的中点时，线段MN的最大长度是2.5cm．