Question

4．如图，在直角坐标系中有一直角三角形AOB，O为坐标原点，OA=1，BO=3，将此三角形绕原点O逆时针旋转90°，得到△DOC，抛物线y=ax²+bx+c经过点A、B、C．
（1）求点C和点D的坐标；
（2）求抛物线的解析式；
（3）若点P是第二象限内抛物线上的动点，其横坐标为t，是否存在一点P，使△PCD的面积最大？若存在，求出△PCD的面积的最大值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据旋转的性质，可得OC，OD的长，可得C、D点坐标，
（2）根据待定系数法就可以直接求出二次函数的解析式．
（3）先运用待定系数法求出直线CD的解析式，设PM与CD的交点为N，根据CD的解析式表示出点N的坐标，再根据S_△PCD=S_△PCN+S_△PDN就可以表示出三角形PCD的面积，运用顶点式就可以求出结论．

解答 解：（1）在Rt△AOB中，OA=1，OB=3．
∵△DOC是由△AOB绕点O逆时针旋转90°而得到的，
∴△DOC≌△AOB．∴OC=OB=3，OD=OA=1．
C（-3，0）D（0，1）；
（2）A、B、C的坐标分别为（1，0），（0，3）（-3，0）
代入解析式得$\left\{\begin{array}{l}{a+b+c=0}\\{9a-3b+c=0}\\{c=3}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=-2}\\{c=3}\end{array}\right.$．
∴抛物线的解析式为y=-x²-2x+3；
（3）如图
设直线CD的解析式为y=kx+b，由题意，得
$\left\{\begin{array}{l}{-3k+b=0}\\{b=1}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{1}{3}}\\{b=1}\end{array}\right.$．
∴直线CD的解析式为：y=$\frac{1}{3}$x+1．
设PM与CD的交点为N，则点N的坐标为（t，$\frac{1}{3}$t+1），∴NM=$\frac{1}{3}$t+1．
∴PN=PM-NM=-t²-2t+3-（$\frac{1}{3}$t+1）=-t²-$\frac{7}{3}$t+2．
∵S_△PCD=S_△PCN+S_△PDN，
∴S_△PCD=$\frac{1}{2}$PN•CM+$\frac{1}{2}$PN•OM=$\frac{1}{2}$PN（CM+OM）=$\frac{1}{2}$PN•OC=$\frac{1}{2}$×3（-t²-$\frac{7}{3}$t+2）=-$\frac{3}{2}$（t+$\frac{7}{6}$）²+$\frac{121}{24}$．
∴当t=-$\frac{7}{6}$时，S_△PCD的最大值为$\frac{121}{24}$．

点评 本题考查了二次函数综合题，利用了旋转的性质，待定系数法求函数解析式，分割法求三角形的面积是解题关键，又利用了二次函数的性质．