[题目]如图.在矩形ABCD中.AB＝4.BC＝3.点P.Q在对角线BD上.且BQ＝BP.过点P作PH⊥AB于点H.连接HQ.以PH.HQ为邻边作平行四边形PHQG.设BQ＝m．(1)若m＝2时.求此时PH的长．(2)若点C.G.H在同一直线上时.求此时的m值．(3)若经过点G的直线将矩形ABCD的面积平分.同时该直线将平行四边形PHQG的面积分成1:3的两部� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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【题目】如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，点P，Q在对角线BD上，且BQ＝BP，过点P作PH⊥AB于点H，连接HQ，以PH、HQ为邻边作平行四边形PHQG，设BQ＝m．

（1）若m＝2时，求此时PH的长．

（2）若点C，G，H在同一直线上时，求此时的m值．

（3）若经过点G的直线将矩形ABCD的面积平分，同时该直线将平行四边形PHQG的面积分成1：3的两部分，求此时m的值．

【答案】（1）；（2）；（3）满足条件的m的值为或

【解析】

（1）根据勾股定理可求BD=5，再证明△BPH∽△BDA，即，然后求解即可；

（2）设BQ=2x，则BP=3x，PQ=x，再证明△PHO∽△BCO，即，则可求得PH的长；然后再证明△BPH∽△BDA，即，即可求得x的值；

（3）如图：分当直线OG经过PH的中点R时和当直线OG经过HQ的中点N时两种情况按平行线分线段成比例解答即可．

解：（1）在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，

∴BD＝＝＝5，

∵BQ＝2，，

∴BP＝3，

∵PH∥AD，

∴△BPH∽△BDA，

∴，

∴；

（2）如图，设HG与PQ交于点O，

设BQ＝2x，则BP＝3x，PQ＝x，

∴PO＝QO＝x，

∴BO＝x，

∵PH∥BC，

∴△PHO∽△BCO，

∴，

∴PH＝＝，

∵PH∥AD，

∴△BPH∽△BDA，

∴，

∴x＝，

∴BQ＝；

（3）连接AC交BD于O，

∵经过点G的直线将矩形ABCD的面积平分，

∴这条直线经过矩形ABCD的对角线的交点O．

①如图，当直线OG经过PH的中点R时，直线OG将平行四边形PHQG的面积分成1：3的两部分，

∵PH∥GQ，

∴，

∴m＝；

②如图，当直线OG经过HQ的中点N时，直线OG将平行四边形PHQG的面积分成1：3的两部分，

∵PG∥HQ，

∴＝＝，

∴，

∴m＝；

综上所述，满足条件的m的值为或．

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