Question

20．几位同学尝试用矩形纸条ABCD（如图1）折出常见的中心对称图形．

（1）如图2，小明将矩形纸条先对折，使AB和DC重合，展开后得折痕EF，再折出四边形ABEF和CDEF的对角线，它们的对角线分别相交于点G，H，最后将纸片展平，则四边形EGFH的形状一定是菱形．
（2）如图3，小华将矩形纸片沿EF翻折，使点C，D分别落在矩形外部的点C′，D′处，FC′与AD交于点G，延长D′E交BC于点H，求证：四边形EGFH是菱形．
（3）如图4，小美将矩形纸条两端向中间翻折，使得点A，C落在矩形内部的点A′，C′处，点B，D落在矩形外部的点B′，D′处，折痕分别为EF，GH，且点H，C′，A′，F在同一条直线上，试判断四边形EFGH的形状，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）由折叠的性质，易证得四边形AECF与四边形BFDE是平行四边形，继而可证得四边形EGFH是平行四边形，又由折叠的性质，证得∠AFE=∠DFE，即可得四边形EGFH的形状一定是菱形；
（2）易得四边形EGFH是平行四边形，又由折叠的性质得：∠CFE=∠GFE，继而证得GE=GF，则可得四边形EGFH是菱形；
（3）首先由矩形ABCD中，AD∥BC，可得∠AHF=∠CFH，由折叠的性质得：∠GHF=$\frac{1}{2}$∠AHF，∠EFH=$\frac{1}{2}$∠CFH，继而证得GH∥EF，继而可证得四边形EFGH是平行四边形．

解答 （1）菱形．
理由：∵小明将矩形纸条先对折，使AB和DC重合，展开后得折痕EF，
∴AD∥BC，AE=ED=BF=CF，
∴四边形AECF与四边形BFDE是平行四边形，
∴AF∥CE，BE∥DF，
∴四边形EGFH是平行四边形，
∵EF⊥AD，AE=DE，
∴AF=DF，
∴∠EFG=∠EFH，
∵∠FEG=∠EFH，
∴∠EFG=∠FEG，
∴EG=FG，
∴四边形EGFH是菱形；
故答案为：菱形；

（2）证明：∵矩形ABCD中，AD∥BC，
∴EG∥FH，EH∥FG，
∴四边形EGFH是平行四边形，
∵AD∥BC，
∴∠AEF=∠CFE，
由折叠的性质得：∠CFE=∠GFE，
∴∠AEF=∠GFE，
∴GE=GF，
∴?EGFH是菱形；

（3）解：平行四边形．
理由：∵矩形ABCD中，AD∥BC，
∴∠AHF=∠CFH，
由折叠的性质得：∠GHF=$\frac{1}{2}$∠AHF，∠EFH=$\frac{1}{2}$∠CFH，
∴∠GHF=∠EFH，
∴GH∥EF，
∵EH∥FG，
∴四边形EFGH是平行四边形．

点评 此题属于四边形的综合题．考查了矩形的性质、菱形的判定、平行四边形的判定以及折叠的性质．注意掌握折叠前后图形的对应关系是解此题的关键．