如图.已知二次函数y=-x2+bx+c的图象与x轴交于A.B两点(点A在点B的左侧).与y轴交于点C.且OB=OC=3.顶点为M．(1)求二次函数的解析式,(2)点P为线段BM上的一个动点.过点P作x轴的垂线PQ.垂足为Q.若OQ=m.四边形ACPQ的面积为S.求S关于m的函数解析式.并写出m的取值范围,(3)探索:线段BM上是否存在点N.使△NMC为等腰三角形?如� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

如图，已知二次函数y=-x²+bx+c（c＞0）的图象与x轴交于A、B两点（点A在点

B的左侧），与y轴交于点C，且OB=OC=3，顶点为M．
（1）求二次函数的解析式；
（2）点P为线段BM上的一个动点，过点P作x轴的垂线PQ，垂足为Q，若OQ=m，四边形ACPQ的面积为S，求S关于m的函数解析式，并写出m的取值范围；
（3）探索：线段BM上是否存在点N，使△NMC为等腰三角形？如果存在，求出点N的坐标；如果不存在，请说明理由．

（1）∵OB=OC=3，
∴B（3，0），C（0，3）
∴

0=-9+3b+c

3=c

，
解得

b=2

c=3

1分
∴二次函数的解析式为y=-x²+2x+3；

（2）y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，M（1，4）
设直线MB的解析式为y=kx+n，
则有

4=k+n

0=3k+n

解得

k=-2

n=6

∴直线MB的解析式为y=-2x+6
∵PQ⊥x轴，OQ=m，
∴点P的坐标为（m，-2m+6）
S_{四边形ACPQ}=S_△AOC+S_梯形PQOC=

AO•CO+

（PQ+CO）•OQ（1≤m≤3）
=

×1×3+

（-2m+6+3）•m=-m²+

；

（3）线段BM上存在点N（

，

），（2，2），（1+

，4-

）使△NMC为等腰三角形
CM=

(1-0)2+(4-3)2

，CN=

x2+(-2x+3)2

，MN=

(x-1)2+(-2x+2)2

①当CM=NC时，

x2+(-2x+3)2

，
解得x₁=

，x₂=1（舍去）
此时N（

，

）
②当CM=MN时，

(x-1)2+(-2x+2)2

，
解得x₁=1+

，x₂=1-

（舍去），
此时N（1+

，4-

）
③当CN=MN时，

x2+(-2x+3)2

(x-1)2+(-2x+2)2

解得x=2，此时N（2，2）．

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如图，已知抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的顶点M在第一象限，抛物线与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交与点C，O为坐标原点，如果△ABM是直角三角形，AB=2，OM=

．
（1）求点M的坐标；
（2）求抛物线y=ax²+bx+c的解析式；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得△PAC为直角三角形？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

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如图，在平面直角坐标系中，开口向上的抛物线与x轴交于A、B两点，D为抛物线的

顶点，O为坐标原点．若OA、OB（OA＜OB）的长分别是方程x²-4x+3=0的两根，且∠DAB=45°．
（1）求抛物线对应的二次函数解析式；
（2）过点A作AC⊥AD交抛物线于点C，求点C的坐标；
（3）在（2）的条件下，过点A任作直线l交线段CD于点P，若点C、D到直线l的距离分别记为d₁、d₂，试求的d₁+d₂的最大值．

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已知抛物线y=-

x2+bx+c与x轴交于A、B，与y轴交于点C，连结AC、BC，D是线段OB上一动点，以CD为一边向右侧作正方形CDEF，连结BF．若S_△OBC=8，AC=BC
（1）求抛物线的解析式；
（2）求证：BF⊥AB；
（3）求∠FBE；
（4）当D点沿x轴正方向移动到点B时，点E也随着运动，则点E所走过的路线长是______．