Question

【题目】如图①抛物线y＝ax2+bx+4（a≠0）与x轴，y轴分别交于点A（﹣1，0），B（4，0），点C三点．

（1）试求抛物线的解析式；

（2）点D（3，m）在第一象限的抛物线上，连接BC，BD．试问，在对称轴左侧的抛物线上是否存在一点P，满足∠PBC＝∠DBC？如果存在，请求出点P点的坐标；如果不存在，请说明理由；

（3）点N在抛物线的对称轴上，点M在抛物线上，当以M、N、B、C为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点M的坐标．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+3x+4；（2）存在．P（﹣，）．（3）

【解析】

（1）将A,B,C三点代入y＝ax2+bx+4求出a,b,c值，即可确定表达式；

（2）在y轴上取点G，使CG＝CD＝3，构建△DCB≌△GCB，求直线BG的解析式，再求直线BG与抛物线交点坐标即为P点，

（3）根据平行四边形的对边平行且相等，利用平移的性质列出方程求解，分情况讨论.

解：如图：

（1）∵抛物线y＝ax2+bx+4（a≠0）与x轴，y轴分别交于点A（﹣1，0），B（4，0），点C三点．

∴ 解得

∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+3x+4．

（2）存在．理由如下：

y＝﹣x2+3x+4＝﹣（x﹣）2+．

∵点D（3，m）在第一象限的抛物线上，

∴m＝4，∴D（3，4），∵C（0，4）

∵OC＝OB，∴∠OBC＝∠OCB＝45°．

连接CD，∴CD∥x轴，

∴∠DCB＝∠OBC＝45°，

∴∠DCB＝∠OCB，

在y轴上取点G，使CG＝CD＝3，

再延长BG交抛物线于点P，在△DCB和△GCB中，CB＝CB，∠DCB＝∠OCB，CG＝CD，

∴△DCB≌△GCB（SAS）

∴∠DBC＝∠GBC．

设直线BP解析式为yBP＝kx+b（k≠0），把G（0，1），B（4，0）代入，得

k＝﹣，b＝1，

∴BP解析式为yBP＝﹣x+1．

yBP＝﹣x+1，y＝﹣x2+3x+4

当y＝yBP 时，﹣x+1＝﹣x2+3x+4，

解得x1＝﹣，x2＝4（舍去），

∴y＝，∴P（﹣，）．

（3） 理由如下，如图

B(4，0),C(0，4) ，抛物线对称轴为直线，

设N(，n)，M(m, ﹣m2+3m+4)

第一种情况：当MN与BC为对边关系时，MN∥BC,MN=BC,

∴4-=0-m，∴m=

∴﹣m2+3m+4=,

∴；

或∴0-=4-m，

∴m=

∴﹣m2+3m+4=,

∴；

第二种情况：当MN与BC为对角线关系，MN与BC交点为K,则K(2,2)，

∴

∴m=

∴﹣m2+3m+4=

∴

综上所述，当以M、N、B、C为顶点的四边形是平行四边形时，点M的坐标为 .