Question

在平面直角坐标系中，直线AB与y轴、x轴分别交于点A、点B，与双曲线（m＞0，x＞0）交于C（1，6）、D（3，n）两点，CE⊥y轴于点E，DF⊥x轴于点F．
（1）填空：m=______，n=______；
（2）求直线AB的解析式；
（3）求证：AC=DB．

Answer 1

解：（1）∵点C（1，6）在反比例函数y=上，
∴m=1×6=6；
∵C（1，6）、D（3，n）两点均在反比例函数y=上，
∴1×6=3n，解得n=2．
故答案为：6，2；

（2）设直线AB的解析式为：y=kx+b（k≠0），
∵直线AB过点C（1，6）、D（3，2）
∴，
解得：，
∴直线AB的解析式为：y=-2x+8；

（3）在直线y=-2x+8中，令x=0，则y=8，
∴A（0，8），
令y=0，则x=4，
∴B（4，0），
∵CE⊥y轴，DF⊥x轴．
∴∠AEC=∠DFB=90°，
∵AE=DF=2，CE=BF=1，
∴△AEC≌△DFB（SAS），
∴AC=DB．
分析：（1）根据反比例函数中k=xy的特点求出k及n的值即可；
（2）设直线AB的解析式为y=kx+b（k≠0），再把A、B两点的坐标代入即可求出k、b的值，进而可求出直线AB的解析式；
（3）在直线y=-2x+8中，令x=0，求出y的值，再令y=0，求出x的值即可得出A、B两点的坐标，CE⊥y轴，DF⊥x轴，故∠AEC=∠DFB=90°，由全等三角形的判定定理即可得出△AEC≌△DFB，由全等三角形的性质即可得出结论．
点评：本题考查的是反比例函数综合题，涉及到用待定系数法求反比例函数的解析式及反比例函数图象上点的坐标特点等知识，难度适中．