Question

【题目】如图，在菱形ABCD中，．点E、F分别是边AB、AD上的点，且满足，连结EF．

（1）求证: 为等腰三角形；

（2）若，求的面积；

（3）若G是CE的中点，连结BG并延长交DC于点H，连结FH，求证：.

Answer 1

【答案】(1)证明见解析；(2)；（3）证明见解析.

【解析】(1)根据菱形的性质得到，，然后根据全等三角形的判定AAS证得≌，进而根据全等三角形的性质和等腰三角形的判定得证结论；

(2)根据（1）的结论得到，从而根据菱形的领边相等得到△AEF是等边三角形，求得AE=AF=2，作于点M，根据30°角的直角三角形的性质和勾股定理求出FM的长，求得三角形的面积；

（3）根据全等三角形的判定ASA证得≌，然后根据全等三角形的性质得到，，进而得到，即.

(1)证明：∵四边形为菱形

∴，

在和中

∴≌（AAS）

∴

∴为等腰三角形.

(2)∵≌

∴

∵

∴

又∵

∴为等边三角形

∴

作于点M

∴

∴

∴

∴.

（3）∵G是中点

∴

∵

∴

在和中

≌（ASA）

∴

由（1）知：≌

∴

∵，

∴

又∵

∴

又∵

∴

∴

∴.