Question

【题目】己知抛物线y=ax2+bx－3a(a>0)与x轴交于A(－1,0)、B两点，与y轴交于点C.

(1)求点B的坐标；

(2)P是第四象限内抛物线上的一个动点.

①若∠APB=90°，且a<3，求点P纵坐标的取值范围；

②直线PA、PB分别交y轴于点M、N求证：为定值.

Answer 1

【答案】(1) B(3,0)；(2) ①－2≤n<－，②=

【解析】

（1）把A(－1,0)代入抛物线的解析式，可得a、b的关系，代入取y=0，解方程可得B点坐标.

（2）因为P是第四象限内抛物线上的一个动点.可设设P(m,n), 且m >0, n <0，

①把P(m,n)代入函数解析式，得m、n之间的关系，根据勾股定理列出算式，求出m、n的关系，综合可得到n与a的关系，结合抛物线的顶点坐标及n的取值范围即可确定n的取值范围.

②用待定系数法求直线AP、BP解析式，取x=0求出C、M、N的坐标，表示出CM、CN的长，代入计算即可.

(1)抛物线过A(－1,0)

∴0＝a－b－3a，b＝-2a，

令y=0，则ax2-2ax－3a＝0

a(x2-2x－3)＝0, 且a>0

∴B(3,0)

(2)设P(m,n), 且m >0, n <0，则n＝am2-2am－3a＝a(m2-2m-3).

①AP2=n2+ (m+1)2, BP2=n2+ (3－m)2, AB2=16.

∵∠APB=90°，

∴AP2 +BP2= AB2,即：n2+ (m+1)2+n2+ (3－m)2 =16.

整理后：n2＝－m2+2m+3

∴n2＝－，且n <0，

∴n＝－<0

又抛物线顶点(－1,4 a)

∴4a≤－<0，a≥

又∵a<3

∴≤a<3

∵－1<0，∴当≤a<3时，n随a的增大而增大，

∴－2≤n<－

②将x＝0代入y=ax2+bx－3a得：y=－3a

∴C(0,－3a)

直线AP过点A(－1,0)、P(m,n)两点，其解析式为：

y=a (m－3)x+ a (m－3)，M(0, am－3a)

直线BP过点B(3,0)、P(m,n)两点，其解析式为：

y=a (m+1)x－3a (m+1)，N(0, －3am－3a)

∴CM＝|－3a－(am－3a)|=| am |

CN＝|－3a－(－3am－3a)|=|3am |

∴=