Question

某中学团委组织了“争做美德少年”有奖征文活动，并设立若干奖项，学校计划派人根据设奖情况去购买A、B、C三种奖品共50件，其中B型奖品件数比A型奖品件数的2倍少10件，C型奖品所花费用不超过B型奖品所花费用的1.5倍，各种奖品的单价如下表所示，如果计划A型奖品买x件，买50件奖品的总费用是w元。

A型奖品 B型奖品 C型奖品 单价（元） 12 10 5 ⑴试求w与x之间的函数关系式，并求出自变量x的取值范围； ⑵请你设计一种方案，使得购买这三种奖品所花的总费用最少，并求出最少费用。

Answer 1

解：（1）由题意得A型奖品x件，B型奖品（2x-10）件，C型奖品（60-3x）件， w=12x+10（2x-10）+5（60-3x）=17x+200 由x＞0，2x-10＞0，60-3x＞0，5（60-3x）≤1.5×10（2x-10） 解得10≤x＜20； （2）在w=17x+200中，∵17＞0，∴w随x的增大而减小， ∴当x=10时，w取得最小值，最小值为370，即购买A型奖品10件，B型奖品10件，C型奖品30件，可使购买这三种奖品所花的总费用最少，最少费用为370元。