Question

3．如图，反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象与一次函数y=$\frac{1}{4}$x的图象交于点A、B．点B的横坐标是4．点P是第一象限内反比例函数图象上的动点，且在直线AB的上方．
（1）若点P的坐标是（1，4），直接写出k的值和△PAB的面积；
（2）在（1）的条件下，设直线PA，PB与x轴分别交于点M、N，求证：△PMN是等腰三角形．

Answer 1

分析 （1）利用待定系数法先求出A、B两点坐标，再利用待定系数法求出k的值，再证明△PAB是直角三角形，即可解决问题．
（2）求出直线PA的解析式为y=x+3，推出M（-3，0），C（0，3），推出OM=OC，推出∠PMN=45°，由∠MPN=90°，推出∠PNM=∠PMN=45°，推出PM=PN．

解答 解：（1）由题意点B坐标（4，1），
把点B（1，4）代入y=$\frac{k}{x}$，得到k=4，
∵A、B关于原点对称，
∴A（-4，-1），
∴AB=$\sqrt{{8}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{68}$，PB=$\sqrt{{3}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{18}$，PA=$\sqrt{{5}^{2}+{5}^{2}}$=$\sqrt{50}$，
∴AB²=PB²+PA²，
∴△PAB是直角三角形，
∴S_△PAB=$\frac{1}{2}$•PA•PB=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{50}$×$\sqrt{18}$=15．

（2）∵P（1，4），A（-4，-1），
设直线PA的解析式为y=kx+b，则有$\left\{\begin{array}{l}{k+b=4}\\{-4k+b=-1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=3}\end{array}\right.$，
∴直线PA的解析式为y=x+3，
∴M（-3，0），C（0，3），
∴OM=OC，
∴∠PMN=45°，∵∠MPN=90°，
∴∠PNM=∠PMN=45°，
∴PM=PN，
∴△PMN是等腰三角形．

点评 本题考查反比例函数的解析式、一次函数的应用、待定系数法、勾股定理分逆定理、三角形的面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会构建一次函数，确定点的坐标，属于中考常考题型．