Question

如图，一次函数y=ax+b的图象与反比例函数y=

k

x

的图象相交于A，B两点，与y轴交于点C，与x轴交于点D，点D的坐标为（-2，0），点A的横坐标是2，tan∠CDO=

1

2

．
（1）求点A的坐标；
（2）求一次函数和反比例函数的解析式；
（3）求△AOB的面积．

Answer 1

分析：（1）过A作AE⊥x轴于E，由D、E坐标可以得到OD=OE，根据三角函数的定义得到tan∠ADE=

AE

DE

，而tan∠CDO=tan∠ADE=

1

2

，由此利用已知条件可以求出AE，也就求出A的坐标；
（2）首先利用待定系数法确定反比例函数y=

k

x

的k值，然后根据一次函数y=ax+b过A（2，2），D（-2，0），也利用待定系数法确定函数解析式；
（3）由反比例函数和直线有交点得到

4

x

=

1

2

x+1，解方程即可求出B的坐标，然后利用割补法就可以得到S_△AOB=S_△AOD+S_△BOD，利用已知条件即可解决问题．

解答：解：（1）过A作AE⊥x轴于E
∵D（-2，0），E（2，0），
∴OD=OE，
∵Rt△AED中，∠AED=90°，
∴tan∠ADE=

AE

DE

，
∵tan∠CDO=tanADE=

1

2

，OD=2，OE=2，
∴AE=DE•tan∠ADE=

1

2

×4=2，
∴A（2，2）；

（2）∵反比例函数y=

k

x

过点A（2，2），
∴k=4，
∴y=

4

x

，
∵一次函数y=ax+b过A（2，2），D（-2，0），
∴

2a+b=2 -2a+b=0

，
∴

a= 1 2 b=1

，
∴y=

1

2

x+1；

（3）∵

4

x

=

1

2

x+1，
∴x²+2x-8=0，
∴（x+4）（x-2）=0，
∴x₁=-4，x₂=2，
∴B（-4，-1），
∴S_△AOB=S_△AOD+S_△BOD=

1

2

×2×2+

1

2

×2×1=3．

点评：此题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题时首先利用待定系数法确定函数的解析式，然后利用三角形的面积公式、面积的割补法及解一元二次方程即可解决问题．