Question

14．设二次函数y=x²-2mx+m²+m+1．
（1）当函数图象的顶点在直线y=2x-1上时，求m的值．
（2）如果函数的图象都在x轴上方，求实数m的取值范围．
（3）如果函数的图象与x轴的两个交点之间的距离等于2，求m的值．

Answer 1

分析 先把解析式配成顶点式得到抛物线的顶点坐标，再把顶点坐标代入直线y=2x-1，即可得出m的值；
（2）根据题意得出△＜0，解不等式即可；
（3）由根与系数关系得出x₁+x₂=2m，x₁•x₂=m²+m+1，由题意得出|x₁-x₂|=2，（x₁-x₂）²=4，得出方程，解方程即可．

解答 解：∵y=x²-2mx+m²+m+1=（x-m）²+m+1．
∴抛物线的顶点坐标为（m，m+1），
∵二次函数y=x²-mx的图象的顶点在直线y=2x-1上，
∴m+1=2m-1，
解得：m=2；
（2）∵函数的图象都在x轴上方，
∴抛物线与x轴无交点，△=（-2m）²-4（m²+m+1）＜0，
解得：m＞-1；
（3）设抛物线与x轴的交点为（x₁，0），（x₂，0）则x₁+x₂=2m，x₁•x₂=m²+m+1，
∵函数的图象与x轴的两个交点之间的距离等于2，
∴|x₁-x₂|=2，
∴（x₁-x₂）²=4，
∴（x₁+x₂）²-4x₁ x₂=4，
即（2m）²-4（m²+m+1）=4，
解得：m=-2，
∵△=-4m-4=4＞0，
∴m=-2．

点评 本题考查了抛物线与x轴的交点、抛物线的顶点式、根与系数的关系；熟练掌握根与系数的关系是解决问题（3）的关键．