如图.在平面直角坐标系中.将x轴所在的直线绕着原点O按逆时针方向旋转α角度后.这条直线与函数y=$\frac{\sqrt{3}}{x}$的图象分别交于点B.D.已知点A且m≠0．(1)直接判断并填写:不论α取何值.四边形ABCD的形状一定是平行四边形．(2)若当点B为时.四边形ABCD是矩形.试求p.α和m的值,(3)试探究:四边形ABCD是否可能是菱形?若可能.直接� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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如图，在平面直角坐标系中，将x轴所在的直线绕着原点O按逆时针方向旋转α角度后，这条直线与函数y=$\frac{\sqrt{3}}{x}$的图象分别交于点B、D，已知点A（-m，0），C（m，0）且m≠0．
（1）直接判断并填写：不论α取何值，四边形ABCD的形状一定是平行四边形．
（2）若当点B为（p，$\sqrt{3}$）时，四边形ABCD是矩形，试求p，α和m的值；
（3）试探究：四边形ABCD是否可能是菱形？若可能，直接写出点B的坐标；若不可能，请说明理由．

分析（1）由于反比例函数的图象是一个中心对称图形，点B、D是正比例函数与反比例函数图象的交点，所以点B与点D关于点O成中心对称，则OB=OD，又OA=OC，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，可得出四边形ABCD的形状；
（2）把点B（p，$\sqrt{3}$）代入y=$\frac{\sqrt{3}}{x}$即可求出p的值；过B作BE⊥x轴于E，在Rt△BOE中，根据正切函数的定义求出tanα的值，得出α的度数；要求m的值，首先解Rt△BOE，得出OB的长度，然后根据进行的对角线相等得出OA=OB=OC=OD，从而求出m的值
（3）假设四边形ABCD为菱形，根据菱形的对角线垂直且互相平分，可知AC⊥BD，且AC与BD互相平分，又AC在x轴上，所以BD应在y轴上，这与“点B、D分别在第一、三象限”矛盾，所以四边形ABCD不可能为菱形．

解答解：（1）∵反比例函数的图象是一个中心对称图形，点B、D是正比例函数与反比例函数图象的交点，
所以点B与点D关于点O成中心对称，则OB=OD，又OA=OC，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，
∴四边形ABCD是平行四边形．
故答案为：平行四边形；

（2）∵点B（p，$\sqrt{3}$）在y=$\frac{\sqrt{3}}{x}$的图象上，
∴$\sqrt{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{p}$，
∴p=1，
过B作BE⊥x轴于E，则
在Rt△BOE中，α=60°，
∴OB=2．
又∵点B、D是正比例函数与反比例函数图象的交点，
∴点B、D关于原点O成中心对称，
∴OB=OD=2．
∵四边形ABCD为矩形，且A（-m，0），C（m，0）
∴OA=OB=OC=OD=2，
∴m=2；

（3）四边形ABCD不能是菱形．理由如下：
若四边形ABCD为菱形，则对角线AC⊥BD，且AC与BD互相平分，
因为点A、C的坐标分别为（-m，0）、（m，0），
所以点A、C关于原点O对称，且AC在x轴上，
所以BD应在y轴上，
这与“点B、D分别在第一、三象限”矛盾，
所以四边形ABCD不可能为菱形．

点评本题主要考查了四边形综合题，其中涉及到了平行四边形的判定，矩形、菱形的性质及三角函数的定义等知识，综合性较强，难度适中．

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