Question

19．如图，已知抛物线y=ax²+bx+3与x轴交于A，B两点（点A在原点左侧，点B在原点右侧），与y轴交于点C，且OB=OC=3OA，点P为线段OC上一动点，射线AP与抛物线交于点F，CD⊥AF于点E，交x轴于点D．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）连结DF，若CD=$\sqrt{13}$，求△BDF的面积；
（3）试判断点E能否落在此抛物线的对称轴上？若能，请求出P点的坐标；如不能，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）先求出点A，B，C的坐标，用待定系数法即可求出抛物线解析式；
（2）根据相似三角形的判定得出△AOP∽△COD，根据相似三角形的性质得出OP=$\frac{2}{3}$，过点F作FG⊥AB与点G，设F（m，-m²+2m+3），可得△AOP∽△AGF，根据相似三角形的性质求出m，再根据三角形的面积公式可求△BDF的面积；
（3）由题意可知，抛物线的对称轴为直线x=1，令对称轴与x轴的交点为H，过点C作CM⊥直线x=1于点M，根据相似三角形的判定得出△CME∽△EHA，可得$\frac{CM}{EH}$=$\frac{ME}{AH}$，设EH=n，解方程可求n，即可判定点E能落在抛物线的对称轴上，此时P点的坐标为（0，$\frac{1}{2}$）或（0，1）．

解答 解：（1）由题意可得C（0，3），
∵OB=OC=3OA，
∴A（-1，0），B（3，0），
$\left\{\begin{array}{l}{0=a-b+3}\\{0=9a+3b+3}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=2}\end{array}\right.$．
故此抛物线的解析式为y=-x²+2x+3；

（2）如图，
∵CD=$\sqrt{13}$，
∴OD=2，
∵CD⊥AF，
∴△AOP∽△COD，
∴$\frac{AO}{OC}$=$\frac{OP}{OD}$，
∴OP=$\frac{2}{3}$，
过点F作FG⊥AB与点G，设F（m，-m²+2m+3），
则△AOP∽△AGF，
∴$\frac{AO}{AG}$=$\frac{OP}{FG}$，
∴$\frac{1}{m+1}$=$\frac{\frac{2}{3}}{-{m}^{2}+2m+3}$，
∴m=-1或$\frac{7}{3}$，
又∵m＞0，
∴m=$\frac{7}{3}$，
∴BD=OB-OD=3-2=1，
FG=-m²+2m+3=$\frac{20}{9}$，
∴S_△BDF=$\frac{1}{2}$BD•FG=$\frac{10}{9}$

（3）假设点E能落在抛物线的对称轴上．
由题意可知，抛物线的对称轴为直线x=1，令对称轴与x轴的交点为H，过点C作CM⊥直线x=1于点M，
∵MH⊥x轴，CM⊥MH，CD⊥AF，
∴△CME∽△EHA，
∴$\frac{CM}{EH}$=$\frac{ME}{AH}$，
设EH=n，
∵AH=2，CM=1，MH=3-n，
∴EM=MH-EH=3-n，
∴$\frac{1}{n}$=$\frac{3-n}{2}$，
解得n₁=1，n₂=2，
又∵$\frac{OP}{EH}$=$\frac{AO}{AH}$=$\frac{1}{2}$，
∴OP=$\frac{1}{2}$或1，
∴点E能落在抛物线的对称轴上，此时P点的坐标为（0，$\frac{1}{2}$）或（0，1）．

点评 此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，几何图形面积的计算方法，平面坐标系中两点间的距离公式，相似三角形的判定与性质，是一道中等难度的试题．