Question

如图，AB为半圆的直径，O为圆心，AB=6，延长BA到F，使FA=AB．若P为线段AF上的一个动点（P点与A点不重合），过P点作半圆的切线，切点为C，作CD⊥AB，垂足为D．过B点作BE⊥PC，交PC的延长线于点E．连接AC、DE．
（1）判断线段AC、DE所在直线是否平行，并证明你的结论；
（2）设AC为x，AC+BE为y，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）证Rt△PCD∽Rt△PBE得出比例式，根据切割线定理得出比例式，推出=，推出即可；
（2）连接BC，根据勾股定理求出BC²=36-x²，证Rt△ABC∽Rt△CBE，得出=，求出BE==，代入即可求出答案．
解答：（1）线段AC、DE所在直线平行．
证明：∵CD⊥AB，BE⊥PE，∠CPD=∠BPE，
∴Rt△PCD∽Rt△PBE，
∴=，
∵PC与⊙O相切于C点，PAB为⊙O的割线
∴PC²=PA×PB
∴=，
∴=，
∵∠CPA=∠EPD，
∴△CPA∽△EPD，
∴∠PCA=∠PED，
∴AC∥DE；

（2）解：连接BC，
∵AB为半圆直径，
∴∠ACB=90°，
∴AC²+BC²=AB²；
∵AC=x，AB=6
∴BC²=6²-x²=36-x²，
∵PC与半圆相切于点C
∴∠BAC=∠BCE，
∵∠ACB=∠BEC=90°，
∴Rt△ABC∽Rt△CBE，
∴=，
∴BE==，
∵y=AC+BE
∴y=x+
y=-x²+x+6，
∵P为线段AF上动点（P点与A点不重合）
∴点P与点F重合时，AC的值最大，此时PC==3，
根据三角形面积求出CD=2，
OD==4，AD=6-4=2，
即AC==2
∴y=-x²+x+6，其中0＜x≤2．
点评：本题考查了平行线分线段成比例定理，相似三角形的性质和判定，切线的性质，平行线的判定，勾股定理，三角形的面积等知识点的综合运用，主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力，难度偏大．