Question

【题目】如图，在边长为6的正方形ABCD中，点E为边AD上的一个动点（与点A，D不重合），，BE交对角线AC于点F，BM交于AC于点G，交CD于点M．

（1）求DE：CG的值；

（2）设，，

①求y关于x的函数表达式及x的取值范围．

②当图中点E，M关于对角线BD成轴对称时，求y的值．

Answer 1

【答案】（1）：1；（2）①(0＜x＜6)；②

【解析】

（1）由四边形ABCD为正方形，得到∠BDE=∠BCG=∠CBD=45°，BD= BD＝BC，再由∠EBM=45°，利用等式的性质得到∠DBE＝∠CBG，利用两对角相等的三角形相似得到△BDE∽△BCG，利用相似三角形对应边成比例即可求出所求；
（2）①由四边形ABCD为正方形，且△BDE∽△BCG，得到对应边成比例，进而确定出△BEG∽△BAD，得到三角形BEG为等腰直角三角形，表示出y与x的函数解析式即可；
②若E、M关于对角线BD成轴对称，连接EM，交AC于点H，可得BD垂直平分EM，BE为角平分线，进而得到AE=HE=DH，求出x的值，代入计算即可求出y的值．

(1)∵四边形ABCD是正方形，

∴∠BDE＝∠BCG＝∠CBD＝45°，BD＝BC，

又∠EBM＝45°，

∴∠DBE＝∠CBG，

∴△BDE∽△BCG，

∴DE:CG＝BD:BC＝:1．

(2)①∵四边形ABCD是正方形，

又∵△BDE∽△BCG，

∴BE:BG＝BD:BC＝BD:AB＝:1，

∵∠EBG=∠ABD，

∴△BEG∽△BAD，

∴△BEG是等腰直角三角形，

∴(0＜x＜6)．

②若E，M关于对角线BD成轴对称，

连接EM交AC于点H，

∴BD垂直平分EM，∠EBH=∠MBH,

∵∠ABE+∠EBH=∠EBH+∠MBH，

∴∠ABE=∠MBH，

∴∠ABE=∠EBH，

∴BE平分∠ABD，

∴AE＝HE＝DH，DE＝HE，

∴，

即，

∴．