Question

3．如图，已知直线l₁∥l₂∥l₃∥l₄∥l₅，相邻两条平行直线间的距离相等且为1，如果四边形ABCD的四个顶点在平行直线上，∠BAD=90°且AB=3AD，DC⊥l₄，则四边形ABCD的面积是$\frac{17}{2}$．

Answer 1

分析 首先延长DC交l₅于点F，延长CD交l₁于点E，作点B作BH⊥l₁于点H，连接BD，易证得△BAH∽△ADE，然后由相似三角形的对应边成比例，求得AH，AE的长，由勾股定理求得AD与AB的长，然后由S_{四边形ABCD}=S_△ABD+S_△BCD，即可求得答案．

解答 解：延长DC交l₅于点F，延长CD交l₁于点E，作点B作BH⊥l₁于点H，连接BD，
∵DC⊥l₄，l₁∥l₂∥l₃∥l₄∥l₅，
∴DC⊥l₁，DC⊥l₅，
∴∠BHA=∠DEA=90°，
∴∠ABH+∠BAH=90°，
∵∠BAD=90°，
∴∠BAH+∠DAE=90°，
∴∠ABH=∠DAE，
∴△BAH∽△ADE，
∴$\frac{AB}{AD}$=$\frac{BH}{AD}$=$\frac{AH}{DE}$，
∵AB=3AD，BH=4，DE=1，
∴AE=$\frac{4}{3}$，AH=3，
∴BF=HE=AH+AE=3+$\frac{4}{3}$=$\frac{13}{3}$，
在Rt△ADE中，AD=$\sqrt{{AE}^{2}{+DE}^{2}}$=$\sqrt{{（\frac{4}{3}）}^{2}{+1}^{2}}$=$\frac{5}{3}$，
∴AB=3AD=5，
∴S_{四边形ABCD}=S_△ABD+S_△BCD=$\frac{1}{2}$AB•AD+$\frac{1}{2}$CD•BF=$\frac{1}{2}$×5×$\frac{5}{3}$+$\frac{1}{2}$×2×$\frac{13}{3}$=$\frac{51}{6}$=$\frac{17}{2}$．
故答案为：$\frac{17}{2}$．

点评 本题考查的是相似三角形的判定与性质、勾股定理以及四边形的面积问题．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．