Question

已知抛物线y₁=x²-2x+c的部分图象如图1所示．
（1）求c的取值范围；
（2）若抛物线经过点（0，-1），试确定抛物线y₁=x²-2x+c的解析式；
（3）若反比例函数的图象经过（2）中抛物线上点（1，a），试在图2所示直角坐标系中，画出该反比例函数及（2）中抛物线的图象，并利用图象比较y₁与y₂的大小．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据图1中抛物线的图象可知：c＜0且抛物线与x轴应该有两个交点，因此△＞0，由此可求出c的取值范围．
（2）将点（0，-1）的坐标代入抛物线中即可得出函数的解析式．
（3）求两图象交点是一个难点，两图象交点即为两图象所对应解析式构成方程组的解，观察图象，y₁与y₂除交点（1，-2）外，还有两个交点大致为（-1，2）和（2，-1），把x=-1，y=2和x=2，y=-1分别代入y₁=x²-2x-1和y₂=可知，（-1，2）和（2，-1）是y₁与y₂的两个交点．根据图象可知：当x＜-1或0＜x＜1或x＞2时，y₁＞y₂，当x=-1或x=1或x=2时，y₁=y₂，当-1＜x＜0或1＜x＜2时，y₂＞y₁．
解答：解：（1）根据图象可知c＜0
且抛物线y₁=x²-2x+c与x轴有两个交点
所以一元二次方程x²-2x+c=0有两个不等的实数根．
所以△=（-2）²-4c=4-4c＞0，且c＜0
所以c＜0．

（2）因为抛物线经过点（0，-1）
把x=0，y₁=-1代入y₁=x²-2x+c
得c=-1
故所求抛物线的解析式为y₁=x²-2x-1

（3）因为反比例函数的图象经过抛物线y₁=x²-2x-1上的点（1，a）
把x=1，y₁=a代入y₁=x²-2x-1，得a=-2
把x=1，a=-2代入，得k=-2
所以
画出的图象如图所示．
观察图象，y₁与y₂除交点（1，-2）外，还有两个交点大致为（-1，2）和（2，-1）
把x=-1，y₂=2和x=2，y₂=-1；
分别代入y₁=x²-2x-1和可知：
（-1，2）和（2，-1）是y₁与y₂的两个交点
根据图象可知：当x＜-1或0＜x＜1或x＞2时，y₁＞y₂
当x=-1或x=1或x=2时，y₁=y₂
当-1＜x＜0或1＜x＜2时，y₂＞y₁．
点评：本题考查二次函数、反比例函数、一元二次方程根的判别式等知识，是一道综合题，第（3）小题考查了学生的作图和探究能力，属于中难度题．