Question

如图，△ABC的面积是其内接矩形PQRS面积的3倍，并且BC和高线AD的值是有理数，问矩形PQRS的周长值在什么情况下是有理数？在什么情况下是无理数？

Answer 1

分析：根据矩形及三角形的面积公式求出矩形的长和宽，计算出周长，再根据有理数和无理数的概念解答．

解答：解：设BC=a，AD=h，QR=x，PQ=y
由已知：xy=

1

3

×

1

2

ah=

1

6

ah，

h-y

h

=

x

a

；
即hx+ay=ah，hx•ay=

1

6

a²h²
解得

x= 3+ 3 6 a y= 3- 3 6 h

∴周长l=2（x+y）=a+h±

a-h

3

当a=h时，矩形PQRS的周长为有理数；
当a≠h时，矩形PQRS的周长为无理数．

点评：解答此题的关键是要熟知矩形及三角形的面积公式，有理数和无理数的概念．