Question

a为何值时，关于x的方程ax²-2x-1=0有实数根？并求出它的实数根．（可用a表示）

Answer 1

分析：分类推论：当a=0，原方程是一元二次方程，方程变形为-2x-1=0，然后解一元一次方程；当a≠0，原方程是一元二次方程，根据判别式的意义得到当△≥0，方程有实数根，得到a≥-1且a≠0，然后利用求根公式解方程．

解答：解：当a=0，原方程是一元二次方程，方程变形为-2x-1=0，解得x=-

1

2

；
当a≠0，原方程是一元二次方程，
当△≥0，方程有实数根，即2²-4×a×（-1）≥0，解得a≥-1且a≠0，
∴x=

2± 4+4a

2a

，即x₁=

1+ 1+a

a

，x₂=

1- 1+a

a

，
所以a=0，方程的解为x=-

1

2

；当a≥-1且a≠0，方程的解为x₁=

1+ 1+a

a

，x₂=

1- 1+a

a

．

点评：本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b²-4ac：当△＞0，方程有两个不相等实数根；当△=0，方程有两个相等实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了分类讨论思想的运用以及用求根公式法解一元二次方程．