Question

13．已知关于x、y的方程组$\left\{\begin{array}{l}{x+2y=1}\\{x-2y=m}\end{array}\right.$的解都小于1，若关于a的不等式组$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{5}a+2≥1}\\{2n-3a≥1}\end{array}\right.$恰好有三个整数解．
（1）分别求出m与n的取值范围；
（2）化简：|m+3|-$\sqrt{（1-m）^{2}}$-|2n+8|

Answer 1

分析 （1）解不等式组求得x、y，根据方程组的解都小于1可得关于m的不等式组，解不等式组可得m的取值范围；解不等式组可得关于a的范围，根据不等式组恰好有3个整数解可得关于n不等式组，解不等式组可得n的范围；
（2）由（1）中m、n的范围，根据绝对值性质去绝对值符号，再去括号、合并同类项可得．

解答 解：（1）解方程关于x、y的方程组$\left\{\begin{array}{l}{x+2y=1}\\{x-2y=m}\end{array}\right.$得：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{m+1}{2}}\\{y=\frac{1-m}{4}}\end{array}\right.$，
∵方程组的解都小于1，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{m+1}{2}＜1}\\{\frac{1-m}{4}＜1}\end{array}\right.$，解得：-3＜m＜1，
解不等式组$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{5}a+2≥1}&{①}\\{2n-3a≥1}&{②}\end{array}\right.$，
解不等式①得：a≥-5，
解不等式②得：a≤$\frac{2n-1}{3}$，
∵不等式组恰好有三个整数解，
∴-3≤$\frac{2n-1}{3}$＜-2，
解得：-4≤n＜-$\frac{5}{2}$；

（2）∵-3＜m＜1，-3≤$\frac{2n-1}{3}$＜-2，
∴|m+3|-$\sqrt{（1-m）^{2}}$-|2n+8|
=m+3-（m-1）-（2n+8）
=m+3-m+1-2n-8
=-2n-4．

点评 本题主要考查解方程组、解不等式组、绝对值的性质，根据方程组的解得情况和不等式组的整数解得出关于m、n的不等式组是解题的关键．