Question

已知四边形ABCD是边长为4

3

的菱形，∠BAD=60°，对角线AC与BD交于点O，过点O的直线EF交于点E，交BC于点F，
（1）求证：OE=OF；
（2）若EF⊥BC，求CE的长．

Answer 1

考点：菱形的性质,全等三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）根据菱形的对角线互相平分可得AO=CO，对边平行可得AD∥BC，再利用两直线平行，内错角相等可得∠OAE=∠OCF，然后利用“角边角”证明△AOE和△COF全等；
（2）根据菱形的对角线平分一组对角求出∠DAO=30°，然后求出AO的长，再求出EF的长，然后在Rt△CEF中，利用勾股定理列式计算即可得解．

解答：（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AO=CO，AD∥BC，
∴∠OAE=∠OCF，
在△AOE和△COF中，

∠OAE=∠OCF AO=CO ∠AOE=∠COF

，
∴△AOE≌△COF（ASA）；

（2）解：∵∠BAD=60°，
∴∠DAO=

1

2

∠BAD=

1

2

×60°=30°，
∵∠EOD=30°，
∴∠AOE=90°-30°=60°，
∵菱形的边长为4

3

，∠DAO=30°，
∴OD=AD=

1

2

×4

3

=2

3

，
∴AO=6，
∴AE=CF=3

3

，OE=3，
∴EF=2×3=6，
在Rt△CEF中，CE=

CF2+EF2

=3

7

．

点评：本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，勾股定理的应用．