Question

15．如图，在平面直角坐标系xOy中，正比例函数y=kx的图象与反比例函数y=$\frac{m}{x}$的图象都经过点A（2，-2）．
（1）分别求正比例函数和反比例函数的解析式；
（2）将直线OA向上平移3个单位长度后与y轴相交于点B，与反比例函数的图象在第四象限内的交点为C，连接AB，AC．
①求点C的坐标；②求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）将点A坐标（2，-2）分别代入y=kx、y=$\frac{m}{x}$求得k、m的值即可；
（2）由题意得平移后直线解析式，即可知点B坐标，联立方程组求解可得第四象限内的交点C得坐标，可将△ABC的面积转化为△OBC的面积．

解答 解：（1）根据题意，将点A（2，-2）代入y=kx，得：-2=2k，
解得：k=-1，
∴正比例函数的解析式为：y=-x，
将点A（2，-2）代入y=$\frac{m}{x}$，得：-2=$\frac{m}{2}$，
解得：m=-4；
∴反比例函数的解析式为：y=-$\frac{4}{x}$；

（2）①直线OA：y=-x向上平移3个单位后解析式为：y=-x+3，
则点B的坐标为（0，3），
联立两函数解析式$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+3}\\{y=-\frac{4}{x}}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=4}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=-1}\end{array}\right.$，
∴第四象限内的交点C的坐标为（4，-1），
②∵OA∥BC，
∴S_△ABC=S_△OBC=$\frac{1}{2}$×BO×x_C=$\frac{1}{2}$×3×4=6．

点评 此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，涉及的知识有：坐标与图形性质，直线与坐标轴的交点，待定系数法求函数解析式，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．