Question

【题目】AB为⊙O直径，C为⊙O上的一点，过点C的切线与AB的延长线相交于点D，CA＝CD．

（1）连接BC，求证：BC＝OB；

（2）E是中点，连接CE，BE，若BE＝2，求CE的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）1+．

【解析】

（1）连接OC，根据圆周角定理、切线的性质得到∠ACO=∠DCB，根据CA=CD得到∠CAD=∠D，证明∠COB=∠CBO，根据等角对等边证明；
（2）连接AE，过点B作BF⊥CE于点F，根据勾股定理计算即可．

（1）证明：连接OC，

∵AB为⊙O直径，

∴∠ACB＝90°，

∵CD为⊙O切线

∴∠OCD＝90°，

∴∠ACO＝∠DCB＝90°﹣∠OCB，

∵CA＝CD，

∴∠CAD＝∠D．

∴∠COB＝∠CBO．

∴OC＝BC．

∴OB＝BC；

（2）连接AE，过点B作BF⊥CE于点F，

∵E是AB中点，

∴，

∴AE＝BE＝2．

∵AB为⊙O直径，

∴∠AEB＝90°．

∴∠ECB＝∠BAE＝45°，，

∴．

∴CF＝BF＝1．

∴．

∴．