Question

如图，经过点M（-1，2），N（1，-2）的抛物线y=ax²+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点．
（1）求b的值．
（2）若OC²=OA•OB，试求抛物线的解析式．
（3）在该抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PAC的周长最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）将M，N两点的坐标代入抛物线解析式，得

②-①，得
2b=-4
∴b=-2．

（2）由（1）b=-2，a+c=0
所以抛物线的解析式可写为y=ax²-2x-a
则C（0，-a）
设A（x₁，0），B（x₂，0）
则x₁，x₂是方程ax²-2x-a=0的二根
从而x₁x₂=-1
由所给图形可知OC=a，OA=-x₁，OB=x₂
∵OC²=OA•OB
∴a²=-x₁x₂
∴a²=1
∴a=1（a＞0）
∴抛物线解析式为y=x²-2x-1．

（3）在抛物线对称轴上存在点P，使△PAC的周长最小．
∵AC长为定值
∴要使△PAC的周长最小，只需PA+PC最小
∵点A关于对称轴x=1的对称点是B，由几何知识知PA+PC=PB+PC，BC与对称轴的交点为所求点P．
由（2）知B（+1，0），C（0，-1），经过点B（+1，0），C（0，-1）的直线为y=（-1）x-1，
当x=1时，y=-2．
即P（1，-2）．
分析：（1）根据题意可知，将点M，N的坐标代入函数解析式列的方程组，解方程组即可求得b的值；
（2）根据（1）可求得仅有一个未知系数的解析式y=ax²-2x-a，根据已知得：OC=a，OA=-x₁，OB=x₂，所以根据根与系数的关系，列方程求得a的值，求得二次函数的解析式；
（3）首先要确定点P的位置，即找到点A关于对称轴的对称点B，直线BC与函数对称轴的交点即是所求的P点；求得直线BC的解析式即可求得点P的坐标．
点评：此题考查了二次函数的综合知识，要注意待定系数法求函数解析式，还要注意根与系数的关系，解题的关键是要注意数形结合思想的应用．