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已知△ABC的一条边BC的长为5,另两边AB、AC的长是关于x的一元二次方程x2-(2k+3)x+k2+3k+2=0的两个实数根,
(1)求证:无论k为何值时,方程总有两个不相等的实数根;
(2)k为何值时,△ABC是以BC为斜边的直角三角形;
(3)k为何值时,△ABC是等腰三角形,并求△ABC的周长.
分析:(1)若要证明方程总有两个不相等的实数根,只需证明△>0.
(2)若△ABC是以BC为斜边的直角三角形,则根据勾股定理,AB2+AC2=25,再根据根与系数的关系求得k的值即可.
(3)此题要分两种情况进行讨论,若AB=BC=5时,把5代入方程即可求出k的值,若AB=AC时,则△=0,列出关于k的方程,解出k的值即可.
解答:解:(1)因为△=b2-4ac=[-(2k+3)]2-4×1×(k2+3k+2)=1>0,
所以方程总有两个不相等的实数根.

(2)根据根与系数的关系:AB+AC=2k+3,AB•AC=k2+3k+2,
则AB2+AC2=(AB+AC)2-2AB•AC=25,
即(2k+3)2-2(k2+3k+2)=25,
解得k=2或k=-5.
根据三角形的边长必须是正数,因而两根的和2k+3>0且两根的积3k+2>0,解得k>-
2
3

∴k=2.

(3)若AB=BC=5时,5是方程x2-(2k+3)x+k2+3k+2=0的实数根,把x=5代入原方程,得k=3或k=4.
由(1)知,无论k取何值,△>0,所以AB≠AC,故k只能取3或4.
根据一元二次方程根与系数的关系可得:AB+AC=2k+3,当k=3时,AB+AC=9,则周长是9+5=14;
当k=4时,AB+AC=8+3=11.则周长是11+5=16.
点评:本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系和根的判别式,一元二次方程根的情况与判别式△的关系是:(1)△>0?方程有两个不相等的实数根;(2)△=0?方程有两个相等的实数根;(3)△<0?方程没有实数根.在解题的过程中注意不要忽视三角形的边长是正数这一条件.
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22、已知△ABC的一条边BC的长为5,另两边AB、AC的长是关于x的一元二次方程x2-(2k+3)x+k2+3k+2=0的两个实数根.
(1)求证:无论k为何值时,方程总有两个不相等的实数根.
(2)k为何值时,△ABC是以BC为斜边的直角三角形.

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(1)求证:无论k为何值时,方程总有两个实数根;
(2)当△ABC是等腰三角形时,求k的值.

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已知△ABC的一条边BC的长为5,另两边AB、AC的长是关于x的一元二次方程的两个实数根.

1.求证:无论为何值时,方程总有两个不相等的实数根;

2.当为何值时,△ABC是以BC为斜边的直角三角形;

 

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