Question

2．如图，在△ABC中，AB=AC，D是边BC的中点，一个圆过点A，交边AB于点E，且与BC相切于点D，则该圆的圆心是（　　）

• A． 线段AE的垂直平分线与线段AC的垂直平分线的交点
• B． 线段AB的垂直平分线与线段AC的垂直平分线的交点
• C． 线段AE的垂直平分线与线段BC的垂直平分线的交点
• D． 线段AB的垂直平分线与线段BC的垂直平分线的交点

Answer 1

分析 连接AD，AC与圆相交于点F，如图，利用等腰三角形的性质得AD⊥BC，则根据经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心得到AD经过圆心，再利用垂径定理的推论可得到AE和AF的垂直平分线过圆心，然后对个选项进行判断．

解答 解：连接AD，AC与圆相交于点F，如图，
∵AB=AC，D是边BC的中点，
∴AD⊥BC，即AD垂直平分BC，
∵点D为切点，
∴AD经过圆心，
∵AE和AF为圆的弦，
∴AE和AF的垂直平分线过圆心．
故选C．

点评 本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径；经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．也考查了等腰三角形的性质和线段垂直平分线的性质．