精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
(2000•荆门)如图在直角坐标系xOy中,A、B是x轴上两点,以AB为直径的圆与y轴交于点C,设A、B、C的抛物线的解析式为y=且方程=0的两根的倒数和为
(1)求n的值;
(2)求m的值和A、B、C三点的坐标;
(3)点P、Q分别从A、O两点同时出发,以相同的速度沿AB、OC向B、C运动,连接PQ并延长,与BC交于点M,设AP=k,问是否存在这样的k值,使以P、B、M为顶点的三角形与△ABC相似?若存在,求出k的值;若不存在,请说明理由.

【答案】分析:(1)根据抛物线的解析式可知:C点坐标应为(0,n),那么OC=-n;由于AB是⊙O的直径,则AC⊥BC,在Rt△ABC中,根据射影定理即可得到关于n的方程,由此可求出n的值;
(2)设出A、B的坐标,根据根与系数的关系及已知方程的两根的倒数和即可求出m的值,进而可求出A、B的坐标;而C的坐标在(1)中已经求得;
(3)所求的两个三角形中,已知的相等角有:∠PBM=∠ABC,若两个三角形相似只有两种可能:
①∠BPM=∠BAC,此时PM∥AC,可根据相似三角形得到的比例线段求出k的值;
②∠BPM=∠BCA,在(1)中已经证得∠BCA=90°,所以无论P、Q在何位置,这两个三角形都不相似.
解答:解:(1)设A(x1,0),B(x2,0),其中x1<0,x2>0,则OA=-x1,OB=x2,OC=-n.
∵AB是直径,OC⊥AB,∴OC2=OA•OB,即n2=-x1x2
又x1x2=6n,∴n2=-6n,∴n1=-6,n2=0(舍去),∴n的值为-6;

(2)∵=
x1+x2=6m,x1x2=-6n,
,∴
故抛物线的解析式为y=
A、B、C的坐标为A(-9,0)、B(4,0)、C(0,-6);

(3)如图(见原题)所示,当∠BPM=∠BAC,或当∠BPM=∠BCA时,以P、B、M为顶点的三角形与△ABC相似;
当∠BPM=∠BAC时,PM∥AC;此时,∴,k=3.6.
∵∠ACB=90°
而∠BPM<∠AOC=90°,∴无论P、Q在何位置,都有∠BPM≠∠BCA;
故只有当k=3.6时,△PBM∽△ABC.
点评:此题是二次函数的综合题,考查的知识点有:一元二次方程根与系数的关系、圆周角定理、二次函数解析式的确定、相似三角形的判定等知识;要注意的是(3)题在不确定相似三角形的对应边和对应角的情况下要分类讨论,以免漏解.
练习册系列答案
相关习题

科目:初中数学 来源:2000年全国中考数学试题汇编《二次函数》(03)(解析版) 题型:解答题

(2000•荆门)如图在直角坐标系xOy中,A、B是x轴上两点,以AB为直径的圆与y轴交于点C,设A、B、C的抛物线的解析式为y=且方程=0的两根的倒数和为
(1)求n的值;
(2)求m的值和A、B、C三点的坐标;
(3)点P、Q分别从A、O两点同时出发,以相同的速度沿AB、OC向B、C运动,连接PQ并延长,与BC交于点M,设AP=k,问是否存在这样的k值,使以P、B、M为顶点的三角形与△ABC相似?若存在,求出k的值;若不存在,请说明理由.

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源:2000年湖北省荆门市中考数学试卷(解析版) 题型:解答题

(2000•荆门)如图在直角坐标系xOy中,A、B是x轴上两点,以AB为直径的圆与y轴交于点C,设A、B、C的抛物线的解析式为y=且方程=0的两根的倒数和为
(1)求n的值;
(2)求m的值和A、B、C三点的坐标;
(3)点P、Q分别从A、O两点同时出发,以相同的速度沿AB、OC向B、C运动,连接PQ并延长,与BC交于点M,设AP=k,问是否存在这样的k值,使以P、B、M为顶点的三角形与△ABC相似?若存在,求出k的值;若不存在,请说明理由.

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源:2000年全国中考数学试题汇编《圆》(07)(解析版) 题型:解答题

(2000•荆门)如图,以Rt△ABC的直角边BC为直径画半圆,交斜边AB于D,若AC=,BD=,求图中阴影部分面积(π取3.14,取1.73,结果精到0.1)

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源:2000年湖北省荆门市中考数学试卷(解析版) 题型:选择题

(2000•荆门)如图,A点是半圆上一个三等分点,B点是弧AN的中点,P点是直径MN上一动点,⊙O的半径为1,则AP+BP的最小值为( )

A.1
B.
C.
D.

查看答案和解析>>

同步练习册答案