【题目】(1)阅读理解
我们知道,平面内互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系.如果两条数轴不垂直,而是相交成任意的角ω(0°<ω<180°且ω≠90°),那么这两条数轴构成的是平面斜坐标系.如图1,经过平面内一点P作坐标轴的平行线PM和PN交x轴和y轴于M、N,点M、N在x轴和y轴上所对应的数分别叫做P点的x坐标和y坐标.
如图2,ω=30°,直角三角形的顶点A在坐标原点O,点B、C分别在x轴和y轴上,AB=,则点B、C在此斜坐标系内的坐标分别为B ,C .
(2)尝试应用
如图3,ω=45°,O为坐标原点,边长为1的正方形OABC一边OA在x轴上,设点G(x,y)在经过A、C两点的直线上,求y与x之间满足的关系式.
(3)深入探究
如图4,ω=60°,O为坐标原点,M(2,2),圆M的半径为.有一个内角为60°的菱形,菱形的一边在x轴上,另有两边所在直线恰好与圆M相切,求此菱形的边长.
【答案】(1)(,0),C(0,2); (2)y=-x+.(3)1或2或3.
【解析】
(1)根据平面斜坐标系中点的坐标的定义计算即可;
(2)求出A、C两点坐标,利用待定系数法即可解决问题;
(3)分三种情形①如图4-1中,当菱形ABCD的边AD、BC与⊙M相切于E、F时;②如图4-2中,当菱形ABCD的边AD、DC与⊙M相切于E、F时,连接EM、MF;③如图4-3中,当菱形ABCD的边AD、DC与⊙M相切于E、F时,连接EM、DM、MF.分别求解即可解决问题;
(1)如图2中,
B(,0),C(0,2),
故答案为(,0),C(0,2);
(2)如图3中,由题意C(-1,),A(1,0),
设直线AC是解析式为y=kx+b,
则有:,
解得
∴y=-x+.
(3)①如图4-1中,当菱形ABCD的边AD、BC与⊙M相切于E、F时,作BH⊥AD于H.
∵四边形BHEF是矩形,
∴BH=EF=,
在Rt△ABH中,∵∠BAH=60°,
∴AB=BH÷cos60°=2.
②如图4-2中,当菱形ABCD的边AD、DC与⊙M相切于E、F时,连接EM、MF.
易知AE=,DE=,所以AD=AE-DE=1,
∴AB=AD=1.
③如图4-3中,当菱形ABCD的边AD、DC与⊙M相切于E、F时,连接EM、DM、MF.
易知AE=,DE=,所以AD=AB=AE+DE=3.
综上所述,菱形的边长为1或2或3.
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【题目】某校九年级开展征文活动,征文主题只能从“爱国”“敬业”“诚信”“友善”四个主题选择一个,九年级每名学生按要求都上交了一份征文,学校为了解选择各种征文主题的学生人数,随机抽取了部分征文进行了调查,根据调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图.
(1)求共抽取了多少名学生的征文;
(2)将上面的条形统计图补充完整;
(3)在扇形统计图中,选择“爱国”主题所对应的圆心角是多少;
(4)如果该校九年级共有1200名学生,请估计选择以“友善”为主题的九年级学生有多少名.
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【题目】已知二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)图象的对称轴是直线x=1,其图象的一部分如图所示,下列说法中①abc<0;②2a+b=0;③当﹣1<x<3时,y>0;④2c﹣3b<0.正确的结论有( )
A. ①②B. ②③④C. ①③D. ①②④
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【题目】如图,已知△ABC中,D是BC边上的一点,E是AD的中点,过A点作BC的平行线,交CE的延长线于点F,且AF=BD,连接BF.
(1)求证:BD=CD;(2)如果AB=AC,试判断四边形AFBD的形状,并证明你的结论.
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【题目】如图,在一个可以自由转动的转盘中,指针位置固定,三个扇形的面积都相等,且分别标有数字1,2,3.
(1)小明转动转盘一次,当转盘停止转动时,指针所指扇形中的数字是奇数的概率为________;
(2)小明先转动转盘一次,当转盘停止转动时,记录下指针所指扇形中的数字;接着再转动转盘一次,当转盘停止转动时,再次记录下指针所指扇形中的数字,求这两个数字之和是3的倍数的概率(用画树状图或列表等方法求解)
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【题目】 如图,在矩形ABCD中,AB=3,BC=4,点E是边AB上一点,且AE=2EB,点P是边BC上一动点,连接EP,过点P作PQ⊥PE交射线CD于点Q.若点C关于直线PQ的对称点恰好落在边AD上,则BP的长为_____.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,二次函数y=﹣x2+bx+c的图象与y轴交于点A(0,8),与x轴交于B、C两点,其中点C的坐标为(4,0).点P(m,n)为该二次函数在第二象限内图象上的动点,点D的坐标为(0,4),连接BD.
(1)求该二次函数的表达式及点B的坐标;
(2)连接OP,过点P作PQ⊥x轴于点Q,当以O、P、Q为顶点的三角形与△OBD相似时,求m的值;
(3)连接BP,以BD、BP为邻边作BDEP,直线PE交x轴于点T.当点E落在该二次函数图象上时,求点E的坐标.
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【题目】在﹣9,﹣6,﹣3,﹣1,2,3,6,8,11这九个数中,任取一个作为a值,能够使关于x的一元二次方程x2+ax+9=0有两个不相等的实数根的概率是_____.
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【题目】已知关于x的一元二次方程(a+1)x2+2bx+(a+1)=0有两个相等的实数根,则下面说法正确的是( )
A. 1一定不是方程x2+bx+a=0的根B. 0一定不是方程x2+bx+a=0的根
C. ﹣1可能是方程x2+bx+a=0的根D. 1和﹣1都是方程x2+bx+a=0的根
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