Question

已知二次函数y=x²-（2m+4）x+m²-4（x为自变量） 的图象与y轴的交点在原点的下方，与x轴交于A、B两点，点A在点B的左边，且A、B两点到原点的距离AO、OB满足3（OB-AO）=2AO•OB，直线y=kx+k与这个二次函数图象的一个交点为P，且锐角∠POB的正切值为4．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）确定直线y=kx+k的解析式．

Answer 1

解：（1）令x²-（2m+4）x+m²-4=0，设两根为x₁，x₂（x₁＜0＜x₂），
由题意得：x₁=-OA，x₂=OB，m²-4＜0，即-2＜m＜2，
∴OB-OA=2m+4，OA•OB=-（m²-4），
代入3（OB-OA）=2AO•OB，得：3（2m+4）=-2（m²-4），
整理得：（m+1）（m+2）=0，
可得m+1=0或m+2=0，
解得：m=-1或m=-2（舍去），
则抛物线解析式为y=x²-2x-3；

（2）根据题意设P坐标为（a，4a）或（a，-4a），
代入抛物线解析式得：a²-2a-3=4a或a²-2a-3=-4a，
解得：a=3±2或a=1或-3，
∵∠POB是锐角，则a＞0，
∴a=3-2和a=-3应舍去．
则满足题意的P坐标为（3+2，12+8），（1，4），
分别代入y=kx+k中得：k=2，k=2，
则直线解析式为y=2x+2或y=2x+2．
分析：（1）令二次函数中y=0得到关于x的方程，利用根与系数的关系表示出两根之和与两根之积，根据3（OB-AO）=2AO•OB列出关于m的方程，求出方程的解得到m的值，即可确定出二次函数解析式；
（2）由直线y=kx+k与这个二次函数图象的一个交点为P，且锐角∠POB的正切值为4，设P（a，4a）与（a，-4a），代入二次函数解析式中求出a的值，确定出P的坐标，代入直线解析式求出k的值，即可确定出直线解析式．
点评：此题考查了二次函数综合题，涉及的知识有：根与系数的关系，二次函数与一元二次方程的关系，锐角三角函数定义，是一道较难的压轴题．弄清题意是解本题的关键．