Question

17．如图，在平行四边形ABCD中，M，N分别是AD，BC的中点，MN=$\frac{1}{2}$AD，连接CM交DN于点O．
（1）求证：△ABN≌△CDM；
（2）过点C作CE⊥MN于点E，交DN于点P，若PE=1，∠1=∠2，求BC的长．

Answer 1

分析 （1）由四边形ABCD是平行四边形，可得AB=CD，AD=BC，∠B=∠CDM，又由BN=DM，即可利用SAS证得△ABN≌△CDM；
（2）易求得∠MND=∠CND=∠2=30°，然后由含30°的直角三角形的性质求解即可求得答案．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AD=BC，∠B=∠CDM，
∵M、N分别是AD，BC的中点，
∴BN=DM，
在△ABN和△CDM中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=CD}\\{∠B=∠CDM}\\{BN=DM}\end{array}\right.$，
∴△ABN≌△CDM（SAS）；

（2）解：∵MN=$\frac{1}{2}$AD，
∴∠1=∠MND，
∵AD∥BC，
∴∠1=∠CND，
∵∠1=∠2，
∴∠MND=∠CND=∠2，
∴PN=PC，
∵CE⊥MN，
∴∠CEN=90°，
∠END+∠CNP+∠2=180°-∠CEN=90°
又∵∠END=∠CNP=∠2
∴∠2=∠PNE=30°，
∵PE=1，
∴PN=2PE=2，
∴CE=PC+PE=3，
∴CN=$\frac{CE}{cos30°}$=2$\sqrt{3}$，
∵∠MNC=60°，CN=MN=MD，
∴△CNM是等边三角形，
∴BC=2CN=4$\sqrt{3}$．

点评 此题考查了平行四边形的性质、等边三角形的判定与性质、直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质以及三角函数等性质．此题难度较大，注意掌握数形结合思想的应用．