【题目】如图,为的直径,,是的两条弦,过点作,交的延长线与点.
(1)求证:是的切线;
(2)若,求的值;
(3)在(2)的条件下,若,,求与的长.
【答案】(1)见解析;(2);(3).
【解析】
(1)连接OC,由∠A=∠1=∠2且∠2+∠OCB=90°知∠1+∠OCB=90°,据此即可得证;
(2)先△ADC∽△CDB得,且CD2=ADBD,设CD=4x,CA=4k,知AB=5k,从而得出(4x)2=3x(3x+5k),解关于x的方程,进而得出答案;
(3)由(2)得AB=7、BD=9、CD=12,证DE是∠ADC的平分线知,求出AC=,EC=证得∠A+∠EDA=∠DEC=45°,作DH⊥AC,知△CDH为等腰直角三角形,由BC∥DH知∠CDH=∠1,据此得tan∠CDH==,继而得DH=CD=,由DE=即可解答.
解:(1)如图:
∵OA=OC,
∴∠A=∠2,
∵∠A=∠1,
∴∠1=∠2,
∵AB是⊙O的直径,
∴∠ACB=90°,即∠2+∠OCB=90°,
∴∠1+∠OCB=90°,即∠OCD=90°,
∴CD是⊙O的切线;
(2),
∴,又∵,
∴,
∴,设,
则,则,
解得:,,
∴
(3)由(2)知AB=5k=7知k=,则BD=9,CD=4x=4×k=4××=12,
∵∠CED=∠A+∠EDC=∠A+∠ADE,
∴∠EDC=∠ADE,即DE是∠ADC的平分线,
∴,
则,
∴
∵,,
且,
∴,
过点作交延长线于点,则为等腰直角三角形,
,
∴,,
∴
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【题目】在平面直角坐标系xOy中,二次函数的图象经过点A(1,a),B(3,a),且顶点的纵坐标为-4.
(1)求m,n和a的值;
(2)记二次函数图象在点A,B间的部分为G (含点A和点B),若直线与图象G有公共点,结合函数图象,求k的取值范围.
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【题目】如图,半径为3的⊙O经过等边△ABO的顶点A、B,点P为半径OB上的动点,连接AP,过点P作PC⊥AP交⊙O于点C,当∠ACP=30°时,AP的长为( )
A. 3B. 3或C. D. 3或
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,抛物线经过,两点.将绕点逆时针旋转90°得到,点在抛物线上.
(1)求该抛物线的表达式;
(2)已知点在轴上(点不与点重合),连接,若与相似,试求点的坐标。
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【题目】如图,在菱形中,对角线、交于点,已知,.
(1)求的长;
(2)点为直线上的一个动点,连接,将线段绕点顺时针旋转的角度后得到对应的线段(即),交于点.
①当为的中点时,求的长;
②连接、,当的长度最小时,求的面积.
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【题目】如图,平行四边形ABCD,F是对角线AC上的一点,过点D作DE∥AC,且DE=CF,连接AE、DE、EF.
(1)求证:△ADE≌△BCF;
(2)若∠BAF+∠AED=180°,求证:四边形ABFE为菱形.
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【题目】如图,在中,点是的中点,点是线段的延长线上的一动点,连接,过点作的平行线,与线段的延长线交于点,连接、.
求证:四边形是平行四边形.
若,,则在点的运动过程中:
①当________时,四边形是矩形,试说明理由;
②当________时,四边形是菱形.
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